Question

https://wiki.haskell.org/Hask：

考虑：
undef1 = undefined :: a -> b
undef2 = \_ -> undefined
请注意，这些值不相同：
seq undef1 () = undefined
seq undef2 () = ()
这可能是一个问题，因为undef1 . id = undef2。为了使 Hask 成为一个类别，我们将两个函数f和g定义为相同的态射，如果所有f x = g x都x。因此undef1和undef2是不同的值，但 Hask 中的态射相同。

这是什么意思或我如何检查： undef1和undef2是不同的值，但是相同的态射？

Answer 1

在Haskell中，我们有这样的想法，即每个表达式都可以被评估为特定的＆＃34;值＆＃34;，我们可能有兴趣确定两个表达式是否具有＆＃34;相同的＆＃34;值。

非正式地，我们知道可以直接比较某些值（例如，类型2的值3和Integer）。其他值，例如类型sqrt的{{1}}和id，可以像@pigworker指出的那样，通过构建一个表达式来表达＆＃34;见证＆＃34;直接可比值的差异：

Double -> Double

在此，我们可以得出结论：sqrt 4 = 2 id 4 = 4和sqrt是不同的值。如果没有这样的证人，那么价值是相同的。

如果我们查看id和undef1对undef2类型的单形特化：

() -> ()

我们如何判断这些值是否不同？

好吧，我们需要找到一个见证差异的表达，上面给出了一个。两个表达式：

undef1, undef2 :: () -> ()
undef1 = undefined
undef2 = \_ -> undefined

根据GHCi，

有不同的价值观。我们也可以使用我们对Haskell语义的理解直接显示这个：

> seq undef1 ()
*** Exception: Prelude.undefined
> seq undef2 ()
()
>

那么，问题是什么？好吧，当将 Hask 视为类时，对象是类型，而态射是（单态）函数，我们隐含地需要对象和态射的同一性/等式的概念。

对象标识/相等很容易：当且仅当它们是相同类型时，两个对象（单态Haskell类型）是相等的。态射身份/平等更难。因为 Hask 中的态射是Haskell值（单态函数类型），所以将态射的等式定义为与值的等式相同是很诱人的，如上所述。

如果我们使用此定义，那么seq undef1 () -- use defn of undef1 = seq undefined () -- seq semantics: WHNF of undefined is _|_, so value is _|_ = _|_ seq undef2 () -- use defn of undef2 = seq (\_ -> undefined) () -- seq semantics: (\_ -> undefined) is already in WHNF and is not _|_, -- so value is second arg () = ()和undef1将是不同的态射，因为我们已经证明它们是上面不同的Haskell值。

但是，如果我们比较undef2和undef1 . id，我们会发现它们具有相同的值。也就是说，没有任何表达能见证它们之间的差异。证明这有点困难，但见下文。

无论如何，我们现在在 Hask 类别理论中存在矛盾。因为undef2是 Hask 中的（多态系列）身份态射，我们必须：

id

所以我们同时拥有undef1 = undef1 . id -- because `id` is identity = undef2 -- same value因为上面的见证，但前一个论点是undef1 /= undef2。

避免这种矛盾的唯一方法是放弃将 Hask 中的态射等同定义为基础Haskell值的相等性的想法。

已经提供的 Hask 中的态射等同的另一个定义是两个态射undef1 = undef2和f相等的较弱定义，当且仅当它们满足{时{1}}表示所有值g（包括f x = g x）。请注意，这里仍然存在歧义。如果x和_|_ 本身 Haskell函数及其态射，则f x表示态射 g x的相等性和f x = g x或Haskell 值相等 f x和g x？我们暂时忽略这个问题。

根据此替代定义，f x和g x 等于态射，因为我们可以显示undef1所有可能的值undef2输入undef1 x = undef2 x（即x和()）。也就是说，应用于()，它们会给出：

_|_

并将其应用于()：

undef1 ()
-- defn of undef1
= undefined ()
-- application of an undefined function
= _|_

undef2 ()
-- defn of undef2
= (\_ -> undefined) ()
-- application of a lambda
= undefined
-- semantics of undefined
= _|_

但是，如果你按照@nm提供的链接，你可以看到在形式化Haskell值相等的含义方面还有更多的工作要做，并准确地给出 Hask 态射之前我们确实感到很自在，认为是一个无矛盾的 Hask 类别。

证明`undef1 . id`为Haskell值

由于上述原因，这个证据必然是非正式的，但这就是这个想法。

如果我们试图见证函数undef2和undef1 . id = undef2之间的差异，见证表达式使用这些值的唯一方法是将它们应用于值{ {1}}或使用f将其评估为WHNF。如果已知g和x等于 Hask 态射，那么我们已经为所有seq提供了f，因此没有任何表达可以见证根据应用程序的差异。唯一要检查的是，当它们被评估为WHNF时，它们要么被定义（在这种情况下，按照先前的假设，它们将在应用时产生相同的值），或者它们都是未定义的。

因此，对于g和f x = g x，我们只需要确保它们在被评估为WHNF时既定义了又两者都未定义。事实上，它们很容易看出它们都定义了WHNF：

我们已在上面建立了所有undef1 . id的{{1}}。从技术上讲，我们应该表明：

undef2

将所有undef1 . id -- defn of composition = \x -> undef1 (id x) -- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined undef2 -- defn of undef2 = \_ -> undefined -- this is a lambda, so it is in WHNF and is defined的Haskell值相等，为所有undef1 x = undef2 x建立x。加上两者都定义了上面的WHNF这一事实，这足以证明(undef1 . id) x -- defn of composition = (\x -> undef1 (id x)) x -- lambda application = undef1 (id x) -- defn of id = undef1 x与Haskell值相等。

Hask甚至是一个类别？

1 个答案:

证明`undef1 . id`为Haskell值

Hask甚至是一个类别？

1 个答案:

证明undef1 . id为Haskell值

证明`undef1 . id`为Haskell值