如何证明嵌套forloop的操作数的下限

Question

下面我尝试显示算法执行的添加次数的下限。如果我的分析是否正确，请告诉我。

这是用于计算所有i，j i

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我认为这个算法至少需要n ^ 3次操作。 这是我的论点：

1. n从外部forloop迭代
2. 如果i = n \ 2那么内部forloop将迭代至少n / 2次
3. 如果i = n / 2且j = n那么至少需要n / 2次加法来总结从i到j的元素

因此算法预先形成n * n / 2 * n / 2 =（n ^ 3）/ 4次运算。

Answer 1

它很接近，但你的证据并不能证明你想要的东西。你说：

  

  
1. n从外部forloop迭代
  

好的，至少Ω（n）

  

  
1. 如果i = n \ 2那么内部forloop将迭代至少n / 2次
  

当然，但是i = n / 2只进行一次迭代，所以这证明总共只有n / 2次迭代...再次至少Ω（n）

  

  
1. 如果i = n / 2且j = n那么至少需要n / 2次加法来总结从i到j的元素
  

是的，但这些条件只会发生一次，所以这只能证明Ω（n）。

你要去的证据是这样的：

1. 外部循环至少有 n / 2-1 次迭代，其中 i＆lt; N / 2
2. 在每次迭代中， ni> = n / 2 ，内循环运行多次迭代，因此至少有（n / 2）（n / 2 - 1）内循环的迭代。
3. 至少有一半的内循环迭代 - 特别是至少（n / 4）（n / 2 - 1） - 1 - 至少 n / 4 元素，因此需要 n / 4 - 1 添加。

所以至少有（（n / 4）（n / 2-1） - 1）（n / 4 - 1）加法，并且在Ω（n） ^ 3）

Answer 2

你不必满足于下限。有一个确切的解决方案。

继续编写一个小程序，打印n的前几个值的确切添加数。

然后谷歌为那一系列的价值观。你会发现它是一个众所周知的系列，有一个封闭的表格。