Question

我遇到了一个问题，要求在下面的代码中描述Big O中的计算复杂性：

i = 1;
while(i < N) {
    i = i * 2;
}

我发现this Stack Overflow问题要求答案，最多的答案说它是Log2（N）。

首先想到答案看起来是正确的，但我记得学习了伪多项式运算时，以及计算复杂度如何衡量输入长度的难度，而不是值。

因此，对于整数输入，复杂性应该是输入中的位数。

因此，这个函数不应该是O（N）吗？因为循环的每次迭代都会将i中的位数增加1，直到它达到与N相同的位。

Answer 1

这取决于重要的问题：＆＃34;乘法常数运算＆＃34;？

在现实世界中，它通常被认为是常量，因为你有固定的32位或64位数，并且它们相乘总是相同（=恒定）的时间。另一方面 - 你有限制N＆lt; 32/64位（或任何其他如果使用它）。

理论上你不考虑乘法作为常数运算，或者对于一些特殊的算法，其中N可以增长太多而无法忽略乘法复杂性，你是对的，你必须开始考虑乘法的复杂性。

乘以常数（在这种情况下为2）的复杂性 - 每次都必须经过每一位，并且你有log_2(N)位。

在到达log_2(N)

之前，您必须点击N次

以log_2(N) * log_2(N) = O(log_2^2(N))

的复杂性结束

PS：Akash有一个好处，即乘以2可以写为常量运算，因为二进制中唯一需要的是＆＃34;加零＆＃34; （类似于在＆＃34中乘以10;人类可读＆＃34;格式，你只需加零4333 * 10 = 43330）

然而，如果乘法不那么简单（你必须经历所有位），那么前面的答案是正确的

Answer 2

此代码可能在以下功能中找到：

function FindNextPowerOfTwo(N) {
    i = 1;
    while(i < N) {
        i = i * 2;
    }
    return i;
}

这里，输入可以被认为是k位无符号整数，我们可以将其想象为具有k位的字符串。因此输入大小为k = floor(log(N)) + 1位输入。

赋值i = 1应解释为创建一个新的位串并为其分配长度为一位的字符串1。这是一个恒定的时间操作。

循环条件i < N比较两个位串以查看哪个代表较大的数字。如果智能地实现，这将花费时间与两个位串中较短的长度成比例，其总是i。正如我们将看到的，i位串的长度从1开始并增加1，直到它大于或等于N位串的长度，k。当N不是2的幂时，i位字符串的长度将达到k + 1。因此，在最坏的情况下，评估条件所花费的时间与1 + 2 + ... + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 = O(k^2)成正比。

在循环中，我们将i一遍又一遍地乘以2。此操作的复杂性取决于如何解释乘法。当然，有可能以这样一种方式表示我们的位串，即我们可以通过执行位移并在末尾插入零来智能地乘以2。这可以做成恒定时间操作。如果我们没有注意到此优化并执行标准长乘法，我们会扫描i的位字符串一次以写出一行0并再次写出i使用额外的0，然后我们通过扫描这两个字符串来执行常规添加。这里每个步骤所花费的时间与i位串的长度（实际上，加上一个）成比例，因此整个事件与i的比例成正比。位串长度。由于i的位串长度为1, 2, ..., (k + 1)，因此总时间为2 + 3 + ... + (k + 2) = (k + 2)(k + 3)/2 = O(k^2)。

返回i是一个恒定时间操作。

将所有内容放在一起，运行时间由c * k ^ 2形式的函数从上方和下方限定，因此最坏情况复杂性的约束为Theta(k^2) = Theta(log(n)^2)。

Answer 3

在给定的示例中，您没有将i的值增加1，而是每次都将它增加一倍，因此它朝N移动速度快2倍。通过将它乘以2可以减小搜索空间的大小（我到N之间的一半;即，将输入空间减少2倍。因此，程序的复杂性为 - log_2（N）。

如果你偶然发生了 -

i = i * 3;

程序的复杂程度为log_3（N）。

时间复杂度和整数输入

3 个答案: