Question

以下代码计算结果（x * k -y）n次的总和，值k从1开始，每次循环运行时递增1：

def invoke(n,x,y):
    k=1
    sum1=0
    while(n > 0):
        result=x*k-y 
        k+=1
        sum1+= result
        n-=1 
    return sum1

例如，使用值调用函数，调用（2,3,5）将输出-1，因为对于k = 1，它是3 * 1-5 = -2，对于k = 2，它变为3 * 2-5 = 1。因此，程序返回-1，因为-2和1都被添加。

我遇到的问题是计算大数字需要一段时间，有没有办法优化这个？

为了让它运行得更快，我写了一个这个程序的递归实现：

def invoke1(n,x,y):
     k=0
     if n == 0:
         return 0
     else:
         return x*(k+n)-y + invoke1(n-1,x,y)

然而，这个实现并没有好多，因为我在计算大数时遇到错误。

Answer 1

不应该寻找一种更快地完成同样工作的方法，而应该问你是否必须首先完成所有的工作。

基本上你想要计算：

 n
---
\
/     x * k - y
---
k=1

修复x和y。如果我们对它进行数学分析，我们知道这相当于：

n * (n+1) * x
-------------  - n * y
      2

所以我们可以把它计算为：

def invoke(n, x, y):
    return n * (n+1) * x / 2 - n * y

或如果我们只在整数域中执行计算：

def invoke_ints(n, x, y):
    return n * (n+1) * x // 2 - n * y

鉴于计算是在恒定时间内完成的（如果数字非常大，实际计算通常在 O（log n）中完成），时间复杂度是恒定的，如果不是，这些是在 O（log n）。

迭代和递归函数都在 O（n）中工作（如果计算是在恒定时间内），或者 O（n log n）以防数字是那么庞大，我们用任意位长度进行计算。递归通常会减慢进程，因为Python中的函数调用非常昂贵，并且Python没有实现尾调用优化（TCO）。