Karatsuba算法的特例

Question

我需要一些有关以下问题的帮助：

让我们考虑一个字长为sqrt（n）位的计算机。这意味着2 sqrt（n）位整数之间的任何乘法都是O（1）。 问题是要证明使用Karatsuba算法对这台计算机进行2 n位整数乘法的复杂性是O（n ^ 1.29）。

我试图写一个递归关系，如：         T（sqrt（n））= 3T（sqrt（n）/ 2）+Θ（sqrt（n））

然后，通过用n替换sqrt（n），我得到：T（n）= 3T（n / 2）+Θ（n） 得到T（n）=Θ（n ^ 1.58）。

我无法理解我犯了什么错误。 非常感谢!!

Answer 1

您已正确声明原始递归关系为T(n) = 3T(n/2) + Θ(n);您所犯的逻辑错误是直接将n替换为sqrt(n)。

你必须在这里做的是用不同的停止条件重新导出时间复杂度 - 即T(m) = O(1) Ɐ m ≤ sqrt(n)。给定结果T(n) = Θ(n^1.58)遵循使停止条件等于某个小常数，这不是这里的情况。

让我们反复扩大这种复发：

...并应用修改后的停止条件：

......使用一些对数定律。因此我们到达：

  

...这是必需的结果。