Question

我正在为RSA算法创建所有必要的功能。不幸的是，我似乎无法做出适当的Carmichael功能。

这些是我写的功能：

def gcd(a, b):  # Greatest Common Divisor Generator (Euclidean Algorithm)
    while b != 0:  # While remainder exists
        t = b  # Initially r[k-1]
        b = a % t  # Initially r[k] = r[k-2] mod r[k-1] (where r[k-2] is a)
        a = t  # Predecessor of remainder (b)
    return a

def phi(n):  # Leonard Euler's Totient Function
    y = 0
    for k in range(1, n + 1):  # Phi(+n) is the number of integers k in the range (1 <= k >= n)...
        if gcd(n, k) == 1:  # for which gcd(n, k) = 1
            y += 1
    return y

def carmichael(n):  # Robert Daniel Carmichael's Function
    y = (phi(n) * 1/2) if (n > 4 and ((n & (n - 1)) == 0)) else phi(n)  # phi(n) * 1/2 if 2^x = n, else phi(n) * 1
    return y

我正在使用totient函数进行数字生成。根据我的知识，有一个简单的规则，如果数字是2的幂并且它大于4，它的素数的数量应该减半，否则它等于phi（n）。

上面的规则完全适用于我的代码，例如，如果输入值为8，则结果如下：

phi(8) = 4
carmichael(8) = 2

但问题是，Carmichael函数由于某种原因也将其他数字减半，例如如果输入为12，这就是我的函数返回的结果：

phi(12) = 4
carmichael(12) = 4

但这应该是这样的：

phi(12) = 4
carmichael(12) = 2

为什么会这样？也许非素数奇数应该区别对待？有什么东西需要添加到我的功能中吗？

谢谢！

Answer 1

首先，我们创建gcd函数以计算2个数字的最大公约数，稍后在lambda函数中将需要它。

 def gcd(a,b):
        while (a>0):
            b=b%a
            (a,b)=(b,a)
        return b

然后我们看一下carmichael函数的工作原理。

让 n 为正整数。然后将λ（n）定义为最小的正整数 k ，这样
                      a ^k≡1（ mod n）
  对于所有 a ，例如gcd(a,n)=1。

请注意，我们正在寻找k，一旦有了n，就确定a的值。

现在我们以默认条件初始化函数

n=int(n)
k=2
a=1
alist=[]

要查找所有值，我们使用gcd(a,n)=1测试 a 和 n 是否具有最大的公因数为1，这意味着它们是互质的。 br /> 如果没有，请使用a ++
如果为gcd(a,n)==1，我们将此值存储到 a 的列表中，然后测试下一个a，直到测试所有a<=n

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

好吧，我们现在在列表列表中都有一个，请回顾一下定义

最小正整数k使得
a^k≡1(mod n)

首先，我们计算a的数量，即alist的长度
timer=len(alist)
那我们用
if (a**k)%n==1:
测试此k是否使清单中的所有值都为a^k≡1(mod n)。我们构造一个循环

for a in alist:
      if (a**k)%n==1:
           timer=timer-1
              if timer <0:
                  break
              pass
      else:
           timer=len(alist)
           k=k+1

要测试2中的所有k个数，如果不满足要求，我们执行k=k+1

现在我们具有以下全部功能

    def carmichael(n):
        n=int(n)
        k=2
        a=1
        alist=[]

        while not ((gcd(a,n))==1):
            a=a+1

        while ((gcd(a,n))==1) & (a<=n) :
            alist.append(a)
            a=a+1
            while not ((gcd(a,n))==1):
                a=a+1

        timer=len(alist)
        while timer>=0:
            for a in alist:
                if (a**k)%n==1:
                    timer=timer-1
                    if timer <0:
                        break
                    pass
                else:
                    timer=len(alist)
                    k=k+1
        return k

适当的卡迈克尔功能

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