n个矩形的交点 - 恰好是k个矩形相交的区域的最大数量

Question

想象一下n轴对齐的矩形（由其位置(x,y)指定，宽度和高度）。矩形以某种方式对齐，以使i - 矩形必然与(i+1) - th相交。例如，让n = 3，1必须与2和2与3相交。重要的是要提到这是不传递; 3 可以与1相交，但无法保证（请参阅两个有效对齐示例的图）。

我现在正在寻找的是完全 k = 2,...,n矩形相互交叉的区域的最大可能数量（图中显示了这些区域）。换句话说，我正在寻找n矩形的最坏情况对齐，以便精确k矩形相交的区域的数量达到其最大值。 理论，exaclty k矩形相交的区域的最大可能数量是n over k（二项式系数）。但是，此公式几何仅对n < 4有效，因为n >= 4无法对齐（和绘制）矩形，因此在最坏情况下{{1}存在恰好n over k个矩形相交的区域。

该图的第一个子图像显示k的最坏情况对齐。有n = 3个区域恰好有两个矩形相交，而3 over 2 = 3区域恰好有三个矩形相交。第二个子图像还显示了三个矩形的有效对齐，但这不是最坏情况的对齐，例如，没有正好有三个矩形相交的区域。

Answer 1

错误答案;不会因为可能有用或无用的方法而被删除。

几何数据 - 矩形相交 - 可以被抽象掉：重要的是以下属性：

属性P：如果矩形i和j相交，则意味着我也与i + 1，...，j-1相交。

如果您对问题的表示编码为P，那么您开始使用矩形并不重要。

现在，我们如何记录哪些矩形相交？一种方法是图形，其中节点是矩形和边缘交点，但这不是非常有用，因为上面的属性P在图中不明显。更好的方法是设置以下矩阵：

表示具有矩阵A的第i行的第i个矩形，其具有0s直到条目A（i，i），1s从A（i，i）到A（i，i + m），其中i + m是与矩形i相交的最远矩形的索引。也就是说，A有n行，每个原始矩形一个，它由0和1组成，当且仅当矩形i和j相交时，j> i的A（i，j）为1。对于j

现在，我们有一个正好相交的矩形区域是什么意思？我声称上面的矩阵表示具有正好k 1s的列。为什么？假设您的区域是矩形i + 1，...，i + k的交点。看一下矩阵条目A（i + k，i + k）。它上面的列有1个行，从1 + 1到i + k，否则为0。

上述矩阵看起来与年轻人的偏斜表现相似，因此评论。但是，相似性是肤浅的，因为它不是来自分区。

现在仍然要最大化A中具有正好k 1s的列数。我认为最好的一个是每行中恰好有k 1s的矩阵，这将给出原始问题的答案n。答案显然是错误的，所以我在这里遗漏了一些东西。 Aaaaah！

Answer 2

如果矩形Aij和1相交，则构建一个矩阵i为j的矩阵，如果它们不相交，则构建0。该矩阵是对称的。

现在请注意，靠近对角线的许多1意味着连续对齐矩形之间的交叉点更多。

＆＃34;最糟糕的＆＃34; case，其中k，相互交叉的矩形数量最大，由矩阵k连续1表示，没有{{1}介于两者之间。您可以在对角线之后考虑元素。这样，属性＆＃34;矩形0与矩形i和＃34相交;已经实现了。

问题是如何交换行和列来实现此结果。它可能是矩阵带宽减少问题。 例如，请参阅this和this。

您还可以为您的特殊情况生成自己的算法。请注意它可能是NP问题，并且可能存在多种解决方案。