N个矩形的交点

Question

我正在寻找一种算法来解决这个问题：

在笛卡尔坐标上给定N个矩形，找出这些矩形的交点是否为空。每个矩形可以位于任何方向（不必使其边缘平行于Ox和Oy）

您有什么建议可以解决这个问题吗？ :)我可以考虑测试每个矩形对的交集。但是，它是O（N * N）而且很慢:(

Answer 1

摘要

根据矩形的最小X值使用排序算法，或将矩形存储在R树中并搜索。

直接进场（有分拣）

让我们表示low_x() - 矩形的最小（最左边）X值，以及high_x() - 矩形的最高（最右边）X值。

算法：

Sort the rectangles according to low_x().                   # O(n log n)

For each rectangle in sorted array:                         # O(n)
    Finds its highest X point.                              # O(1)
    Compare it with all rectangles whose low_x() is smaller # O(log n)
        than this.high(x)

复杂性分析

这应该适用于O(n log n)均匀分布的矩形。

最坏的情况是O(n^2)，例如当矩形不重叠但是一个在另一个之上时。在这种情况下，将算法概括为low_y()和high_y()。

数据结构方法：R-Trees

R-trees（B-trees的空间概括）是存储地理空间数据的最佳方式之一，在此问题中非常有用。只需将矩形存储在R树中，您就可以发现具有简单O(n log n)复杂度的交叉点。 （n次搜索，每次log n次。

Answer 2

观察1：给定多边形A和矩形B，可以通过与对应于B的每个边缘的半平面的4个交点来计算交点A∩B。

观察2：从凸多边形切割半平面为您提供凸多边形。第一个矩形是凸多边形。此操作最多每1增加一次顶点数。

观察3：凸多边形顶点与直线的符号距离是单峰函数。

以下是该算法的草图：

以CCW顺序在平衡二叉树中维护当前部分交叉点D.

当切割由线L定义的半平面时，找到D中与L相交的两条边。这可以通过一些巧妙的二元或三元搜索在对数时间内完成，利用与L的有符号距离的单峰性。这是我不完全记得的部分。）从D中删除L一侧的所有顶点，并将交点插入D。

对所有矩形的所有边L重复。

Answer 3

这似乎是Klee措施的一个很好的应用。基本上，如果你阅读http://en.wikipedia.org/wiki/Klee%27s_measure_problem，那么在O（n log n）的直线交点处可以找到最佳算法运行时的下限。

Answer 4

我认为你应该使用像sweep line algorithm这样的东西：寻找交叉点是它的应用之一。另外，请查看answers to this questions

Answer 5

由于矩形不能与轴平行，因此更容易将问题转换为已经解决的问题：计算矩形的边界的交点

• 构建一个包含所有边框的集合S，以及它们所属的矩形;你得到一组形式的元组（（x_start，y_start），（x_end，y_end），r_n），其中r_n当然是相应矩形的ID
• 现在使用扫描线算法来查找这些线的交叉点

扫描线在S中的每个x坐标处停止，即所有起始值和所有结束值。对于每个新的起始坐标，将相应的行放在临时集I中。对于每个新的结束坐标，从I中删除相应的行。

除了向I添加新行之外，您还可以检查每个新行是否与当前在I中的一行相交。如果有，则相应的矩形也会这样做。

您可以找到此算法的详细说明here。

运行时为O（n * log（n）+ c * log（n）），其中c是I中线的交点数。

Answer 6

从集合（或任何矩形）中选择最小的矩形，并遍历其中的每个点。如果其中一个点也存在于所有其他矩形中，则交点不为空。如果所有点都没有 ALL 其他矩形，则交点为空。