MSets上的感应证明

Question

我正在尝试在Coq开发中使用MSet库，我需要一个map函数，该函数在库中不存在，但可以像往常一样使用fold实现。

在下面的gist中，我简化了我正在研究的内容，充满了公理，只是为了直截了当。

我的问题是要证明以下map函数的属性：

Definition map (f : Exp -> Exp) s
  := MSet.fold (fun a ac => MSet.add (f a) ac) MSet.empty s.

使用Coq MSet库中的fold。我要展示的属性是：

  Lemma map_lemma : forall s f e, In e (map f s) -> exists e', In e' s /\ e = f e'.
  Proof.
     induction s using set_induction ; intros ; try fsetdec.

其目的是为了表明，如果集合e中的元素map f s，则e'中存在另一个元素s，s.t。 e = f e'。我很难证明归纳案例，因为set_induction产生的归纳假设似乎根本没用。

有人可以向我提供有关如何进行的任何线索吗？

Answer 1

首先，我认为您对smap的定义存在问题。您必须交换MSet.empty和s，否则您可以证明：

Lemma snap_trivial : forall f s, smap f s= s.
Proof.
  intros. reflexivity.
Qed.

使用正确的定义，您可以使用适合此类目标的fold_rec引理。