Question

我有一周的考试（SML中的功能编程）。我对编程语言SML和功能范例已经相当自信，但我对证明有一个很大的问题。

我正在努力解决以下问题，这是去年考试的一部分：

考虑树的数据类型和两个函数的以下声明：

datatype tree = Lf | Br of int * tree * tree;

fun size Lf = 0
| size(Br(i,t1,t2)) = 1 + size t1 + size t2;

fun sizeI Lf k = k
| sizeI (Br(i,t1,t2)) k = sizeI t1 (1 + sizeI t2 k);

证明

sizeI tr k = k + size tr

适用于所有树tr和所有整数k。

我想通过使用Well Founded Induction来解决上述问题。首先，我已经解决了基本情况：

k = 0 & tr = Lf

sizeI Lf 0 = 0+size Lf
0 = 0

然后我尝试解决归纳步骤，但卡住了：

sizeI tr k = k + size tr
sizeI Br(k,t1,t2) k = k + size Br (k,t1,t2)
size t1 (1+ sizeI t2 k) = k+1+size t1 + size t2
.... STUUUUCK

我真的非常感谢这里的任何帮助。如果你有任何关于归纳的链接或提示（请不要指出维基百科上邪恶的“有根据的关系”文章），我会很高兴。另外，如果你能帮我解决这个问题......

谢谢！： - ）

Answer 1

要做好引导，首先需要在树上定义一个很好的关系：

二元关系c其中（t1，k1）c（t，k）如果t1是t的子树，则是一个很好的关系。

其次，陈述你的归纳假设：

t1和t2是t的子树，我们有：

sizeI t1 k1 = k1 + size t1 (1)
sizeI t2 k2 = k2 + size t2 (2)

我们必须建立：

sizeI Br(i,t1,t2) k = k + size Br(i,t1,t2)

你已经完成了基本情况。

归纳案例：

请注意：

sizeI Br(i,t1,t2) k
= sizeI t1 (1 + sizeI t2 k) // definition of sizeI
= 1 + sizeI t2 k + size t1 // induction hypothesis (1)
=  1 + k + size t2 + size t1 // induction hypothesis (2)
= k + size Br(i, t1, t2) // definition of size

我们完成了证明。

在树上有良好的感应

1 个答案: