Question

所以当队列实现时，BFS的复杂度为O（| V | + | E |）：

ENQUEUE(Q,source_vertex)
while Q != NULL
   u=DEQUEUE(Q)
   for each v in AdjacencyList[u]
     if v not yet visited
        Make v visited
        ENQUEUE(Q,v)

如果我修改代码，将u的邻接列表中的所有顶点添加到队列中，如下所示：

ENQUEUE(Q,source_vertex)
while Q != NULL
   u=DEQUEUE(Q)
   for each v in AdjacencyList[u]
      if v not finalized            
         ENQUEUE(Q,v)
   make u finalized

运行时间是否仍为O（| V | + | E |）？

提前致谢。

Answer 1

想象一下你有一个n个节点的集团（让我们将它们编号为1,2，...，n并假设邻接列表按此顺序存储它们）并从节点1开始运行修改后的算法。节点1将入队节点2,3，...，n用于总共Θ（n）的工作。队列现在看起来像这样：

2,3,4，...，n

当您处理节点2时，它会查看其所有边缘的Θ（n）更多工作，然后将队列中的节点3,4,5，...，n排队。我们的队列现在看起来像这样：

3,4,5，...，n，3,4,5，...，n

我们现在处理节点3，它查看其所有边缘的Θ（n）工作，然后将节点的4,5,6，...，n排队，所以我们的队列如下所示：

4,5,6，...，n，3,4,5，...，n，4,5,6，...，n

这里的模式是我们最终将图中每个节点的许多副本排入队列。实际上，随着时间的推移，我们最终会在队列中总共有Θ（n ²）总节点，并且我们每个节点执行Θ（n）工作。这意味着该图完成的总工作量为Θ（n ³），超过了原始BFS实现的O（m + n）时间限制。

因此，这个新实现可能比常规BFS渐近地慢。

Answer 2

让我们更改你的算法以向队列添加边缘（因为这是隐含的你正在做的事情 - 除了你只是在将它添加到队列而不是整个边缘时查看相反的顶点）：

ENQUEUE( Q,(NULL->source_vertex) )            # start with a dummy edge
WHILE Q != NULL
  (s->u)=DEQUEUE(Q)
  for each (u->v) in AdjacencyList[u]   
    if v not finalized
      ENQUEUE(Q,(u->v))
  make u finalized

每个边缘将被视为(u->v)和(v->u)两次排队。当访问边u的第一个顶点时，每个相邻边将被放入队列，然后u完成。访问v时，将考虑边(v->u)，但由于u已经完成，因此不会添加到队列中;所以每个边缘只会排队一次（在一个方向但不在另一个方向）。

该算法的问题在于它不会检查它要处理的顶点是否已经完成，并将为队列中的每个边缘重新处理它，再次迭代所有相邻边缘，使您的算法成为O(|V||E|) （而不是O(|V| + |E|)）。

一个简单的解决方法是：

ENQUEUE( Q,(NULL->source_vertex) )            # start with a dummy edge
WHILE Q != NULL
  (s->u)=DEQUEUE(Q)
  if u not finalized
    for each (u->v) in AdjacencyList[u]
      if v not finalized
        ENQUEUE(Q,(u->v))
    make u finalized

此外，算法的两个版本都将从一个顶点开始，然后处理同一个连接组件中的每个边缘 - 但是它们只会在连接的图形上执行完整的BFS。如果您有多个断开连接的组件，则需要使用：

for each source_vertex in Graph
  if source_vertex not visited/finalised
    call your_algorithm( source_vertex )

然后O(|V| + |E|)将会访问所有顶点，无论图表是否已连接。

Answer 3

据我了解，运行时复杂性也是O(|V|+|E|)。第二个版本只是将 finalization 步骤（也可以称为访问）推迟到下一次迭代;递归调用的数量和顶点序列都没有改变。

修改BFS时间复杂度

3 个答案: