拟合二维平面中的线段

Question

我遇到以下问题的麻烦

  

给定 N x S 网格和 m 段与水平轴平行（所有这些都是元组（x＆＃39;，x＆＃39;＆ ＃39;，y）），回答 Q 表单（x＆＃39;，x＆＃39;＆＃39;）的在线查询。这种查询的答案是最小的 y （如果有的话），这样我们就可以放置一个段（x＆＃39;，x＆＃39;＆＃39;，y）。所有段都是非重叠的，但是一段的开头可以是另一段的结尾，即段（x＆＃39;，x＆＃39;＆＃39;，y）和（x＆＃39;＆＃39;，x＆＃39 ;＆＃39;＆＃39;，y）是允许的。能够放置一个分段意味着可能存在一个不会违反规定规则的分段（x＆＃39;，x＆＃39;＆＃39;，y），分段实际上并未放置（初始细分未被修改）但我们只声明可能有一个。

约束

1 ≤ Q, S, m ≤ 10^5
1 ≤ N ≤ 10^9

Time: 1s
Memory: 256 Mb

以下是以下链接中的示例。输入段为（2,5,1），（1,2,2），（4,5,2），（2,3,3），（3,4,3）。
回答查询

1）（1,2）→1

2）（2,3）→2

3）（3,4）→2

4）（4,5）→3

5）（1,3）→不能放置一段

第三个查询（蓝色部分）的可视化答案：

我不太明白如何解决问题。它应该用持久的分段树来解决，但我仍然无法想出一些东西。

你能帮帮我吗？

这不是我的功课。源问题可以在http://informatics.mccme.ru/mod/statements/view3.php?chapterid=111614找到。这个陈述没有英文版本可用，测试用例以不同的方式显示输入数据，所以不要介意这些。

Answer 1

这是一个O（N log N）时间解决方案。

预备（可用的好教程here）：分段树，持久分段树。

第0部分。原始问题陈述

我简要描述了原始的问题陈述，因为稍后我会用它的术语而不是抽象的段来说话。

有一个有S座位的火车（S <= 10 ^ 5）。众所周知，座位s_i从时间l_i到时间r_i（不超过10 ^ 5个这样的约束或乘客）被占用。然后我们必须回答10 ^ 5种类型的查询“找到一个座位的最低编号，从时间l_i到时间r_i是免费的，或者说没有”。所有查询都必须在线回答，也就是说，在查看下一个查询之前，您必须回答上一个查询。

在整个文本中，我用N表示座位数，乘客数量和查询数量，假设它们是相同的数量级。如果需要，您可以进行更准确的分析。

第1部分。回答单个查询

让我们回答一个查询[L，R]，假设在时间R之后没有占用的位置。对于每个座位，我们保持最后一次占用。最后称呼它（S）。现在查询的答案是最小S，使得last（S）＆lt; = L.如果我们在座位上构建段树，那么我们将能够在O（log ^ 2 N）时间内回答该查询：二分搜索S的值，检查段[0，S]上的最小范围是否最多为L。

然而，获得Accepted可能还不够。我们需要O（log N）。回想一下，分段树的每个节点在相应的范围内存储最小值。我们从根本开始。如果最小值为> = L，那么此类查询没有可用的席位。否则，左孩子或右孩子的最小值是＆lt; = L（或两者）。在第一种情况下，我们下降到左边的孩子，在第二种情况下 - 向右，然后重复，直到我们到达一片叶子。该叶子将对应于具有最后（S）＆lt; = L。

的最小座位

第2部分。解决问题

我们在座位上保持一个持久的树，为每个座位存储最后一个（S）（与前一部分相同）。让我们按照其左端点按递增顺序逐个处理初始乘客。对于乘客（s_i，l_i，r_i），我们使用值r_i更新位置s_i处的分段树。树是持久的，所以我们将新副本存储在某个地方。

要回答查询[L，R]，找到最新版本的段树，以便更新发生在R之前。如果对版本进行二进制搜索，则需要O（log N）时间。

在段树的版本中，只有左端点的乘客< R被考虑（甚至更多，正是这样的乘客）。因此，我们可以使用第1部分中的算法来使用此分段树回答查询。

Answer 2

声明：

输入：list<x',x'',Y>

查询输入：(X',X'')

输出：Ymin

约束：

1 ≤ Q, S, m ≤ 10^5
1 ≤ N ≤ 10^9

Time: 1s
Memory: 256 Mb

<强>答案：

您可以使用的数据结构方法：

<强> 1。蛮力：直接遍历列表并执行检查。

<强> 2。排序：对Y [从最低到最高]的列表进行排序，然后迭代它。

注意：排序大型列表非常耗时。

Sort on Y
Ymin = -1                                            //Maintain Ymin
for i[0 : len(input)] :                              //Iterate through tuples
    if Ymin != -1 && Y(i-1) != Yi : return Ymin      // end case
    else if x' > X'' : Ymin = Yi                     //its on right of query tuple
    else if x'<X' && (x' + length <= X') : Ymin = Yi //on left of query tuple
    else next

第3。 Hashmap ：Map<Y, list< tuple<x',length> > >用于存储每个Y的行列表，并迭代它们以获得最少Y。

注意：会花费更多时间进行地图构建。

Iterate through list and build a Map 
Iterate through Map keys :
    Iterate through list of tuples, for each tuple :
        if x' > X'': Continue                            //its on right of query tuple
        else if x'<X' && (x' + length <= X') :  return Y //on left of query tuple
            else next Y

<强> 4。矩阵：您可以构建矩阵，其中1表示占用点，0表示空白。

注意：将花费额外的时间进行Matrix构建，并且通过矩阵进行迭代非常耗时，因此无用。

示例：

    0 1 1 1 0 0 
    1 1 0 1 0 0
    0 1 1 1 1 0