Question

请注意，尽管听起来很相似，但这并不是常见的“如何将一个矢量旋转到另一个矢量”这个问题。

我想从两组3个点得到一个仿射变换（矩阵或四元数+矢量形式）。这些可以被视为刚体上的“标记点”，或者作为“向前和向上”向量的端点。翻译和旋转是必要的，缩放不是必需的。此外，四元数+向量解决方案将是一个加号，因为它将允许我将1/3多个实例塞入绘图批次（8个制服而不是12个）。目的是建立一个系统，以直观的方式确定（铰接式或非铰接式）尸体的姿态，而无需维护和行走复杂的层次结构。

第一个明显的简化是通过选择一个点并从相应的“开始”点减去“目的地”来消除平移部分。现在我们只需要处理轮换。

有一个众所周知的，计算上廉价的构造四元数的解决方案，它将一个向量旋转到另一个向量，即q（cross（v1，v2）; sqrt（v1.len_sq * v2.len_sq）+ dot（v1，v2）））或q（交叉（v1，v2）; 1 +点（v1，v2））用于单位长度矢量。不幸的是，这种方法没有“向上方向”的概念，因此总是在最短的弧上旋转（这将使对象不对齐）。天真的做法是简单地将这种方法用于两个向量并将四元数相乘，但显然不会那么容易。需要做的是选择两个向量中的一个（让我们称之为“向前”），并为此创建一个四元数，然后使用此四元数旋转另一个（“向上”）向量，然后构造第二个四元数对于旋转的“向上”向量（和目标“向上”向量），最后将第二个乘以第一个四元数。据我所知，这是正确的，但它也可怕复杂。

现在......至于旋转矩阵，我知道“三元组方法”，我理解如下： - 对矢量对进行正交化（开始和结束） - 这导致两个正交基，它们是从“公共参考系”开始和结束的相应旋转矩阵。这究竟是什么参考框架并不重要，重要的是两者都是相同的。 - S是从“公共帧”到起始帧的变换，D是到结束帧的变换。 - 因此，S ^-1 * D * v转换从开始到结束坐标系的任何点（通过公共参考系）。 - S ^-1 == S ^T因为它是一个正交矩阵，S ^T * x = x * S - 因此：S ^T * D * v = D * S * v

这应该可行，但对于实际上应该非常非常简单的事情来说，它似乎仍然很复杂。

是否有更简单，更直接的解决方案？

Answer 1

你的“非常复杂”的四元数解决方案通常不会起作用。您必须在与第一个旋转轴正交的平面上投影第二对矢量，以确保第二个旋转与第一个旋转正交。

如果您有兴趣，我已经在我的博客中描述了这个原则：http://robokitchen.tumblr.com/post/67060392720/finding-a-rotation-quaternion-from-two-pairs-of-vectors

旋转前：u0，v0。轮换后：u2，v2。

Quaternion q2 = Quaternion::fromTwoVectors(u0, u2);
Vector v1 = v2.rotate(q2.conjugate());
Vector v0_proj = v0.projectPlane(u0);
Vector v1_proj = v1.projectPlane(u0);
Quaternion q1 = Quaternion::fromTwoVectors(v0_proj, v1_proj);
return (q2 * q1).normalized();

我不确定这是你想要的解决方案，但代码运行得非常快。

Answer 2

只处理旋转部件，你的第二种方法会起作用，我怀疑它会很好用。或者，您可以使用两种方法的混合，这可能会更容易一些。假设你在上面构造的两对矢量，每对在它自己的向量空间中。计算每对的正交基，并在一个向量空间中将它们称为X ₀和X ₁，并将它们对应的向量Y ₀和Y <另一个向量空间中的sub> 1 。您现在必须计算两个四元数旋转：

1）q ₀旋转X ₀，X ₁旋转X'₀和X'< sub> 1 分别使得X'₀ = Y ₀。 X'₁和Y ₁现在应该与平面法线X'₀ = Y ₀共面。

2）q ₁将X'₁旋转为X''₁ = Y ₁。您需要做的就是计算向量之间的角度，因为您已经知道旋转向量将只是X'₁ x Y ₁ = X'_{0 < / sub> = Y ₀}

您可以计算q = q ₁ * q ₀以一步完成旋转。

Answer 3

我们必须解决这个完全相同的问题。我是这样做的：

调用点P和W，所以我们有P1..P3和W1..W3

在每个空间中构造三个向量，如此

A1 = P2-P1
A2 = P3-P1
A3 = A1 x A2

和

B1 = W2-W1
B2 = W3-W1
B3 = B1 x B2

这两对三个向量各自构成一个非正交基础，您想要找到如何在一个空间中表示笛卡尔轴（x y和z），以便在另一个空间中找到它们。为此，构造一个矩阵，使其列为上面找到的三个向量。然后反转这个矩阵，如果这个反演失败，那么非正交基不会跨越空间，问题就无法解决。

然后从倒置矩阵中拉出三列。根据非正交基（V1，V2和V3），这些列是笛卡尔坐标轴。由此我们可以重建一个正交基，它将作为从第一个空间到第二个空间的变换矩阵。

如果我们将此矩阵称为R，并将R [row，column]表示为我们的表示法，那么最终转换矩阵的行（或列，取决于您使用矩阵的方式）将是：

B1 * R[0,0] + B2* R[1,0] + B3 * R[2,0]
B1 * R[0,1] + B2* R[1,1] + B3 * R[2,1]
B1 * R[0,2] + B2* R[1,2] + B3 * R[2,2]

现在，因为在反演之前原始矩阵的一列是另外两列的交叉，所以可能优化矩阵的反演。我没有打算这样做 - 特别是因为在我们的例子中，P1..P3的三个点不会改变，因此可以缓存倒置矩阵。

这种方法的优点是，如果你有一个半体面的矩阵/向量库，它实现起来非常简单。并且它不使用角度，这总是一件好事。

从两对三点（或两对两个矢量）导出轴/角度旋转

3 个答案: