Question

我有奇异矩阵A（10 * 10），它是秩不足的（秩= 9），我有矢量b，它在A的范围空间中。现在我对Ax = b的某些解决方案感兴趣。具体来说，这是我的A

array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.86826141,  0.        ,
             0.        ,  0.88788426,  0.        ,  0.4089203 ,  0.88134901],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.46416372,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.31303966,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.3155742 ,  0.        ,  0.64059294,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.51349938,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.53593509,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.01252787,  0.        ,  0.6870415 ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.16643105,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ],
           [ 0.08626592,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.66939531],
           [ 0.43694586,  0.        ,  0.        ,  0.        ,  0.        ,
             0.95941661,  0.        ,  0.52936733,  0.79687149,  0.81463887]])

b使用A.dot(np.ones(10))生成。现在我想用lu分解来解决这个问题，为此我在

之后做了这个

lu_fac=scipy.linalg.lu_factor(X)
scipy.linalg.lu_solve(lu_fac,b)

哪个给出了

array([ nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan,  nan])

在这种情况下，lu_factor似乎工作得很好（有时它会给运行时警告说＆＃34;对角线数字％d正好为零。奇异矩阵＆＃34; ）。为了完整起见，从lu_factor验证PLU的代码与A：

相同

L=np.tril(lu_fac[0])
np.fill_diagonal(L,1)
U=np.triu(lu_fac[0])
perm=np.arange(10)
ipiv=lu_factor[1]
for i in range(10):
  temp=perm[i]
  perm[i]=perm[ipiv[i]]
  perm[ipiv[i]]=temp
np.allclose(X[perm,:],L.dot(U))

现在我知道我的矩阵是单数的，我的问题有很多解决方案。但是我对任何解决方案感兴趣而且我很困惑为什么lu分解失败，是否可以将自由变量设置为0并找到一些解决方案，因为我们被教导了？还有什么是运行时警告的处理＆＃34;对角线数字％d恰好为零。奇异矩阵＆＃34; 。注意我对svd / qr方法没有兴趣解决这个问题，我只是想知道为什么lu失败了奇异矩阵。任何建议都非常感谢。感谢。

Answer 1

0 / lu_fac[0][9, 9]

返回nan，因为该条目 - U的最后一个对角线条目为零。所以这个nan成为第9个变量的值。然后它在上面的等式中被替换，当然，其余部分也以nan出现。 SciPy的LU代码，或者更确切地说是它包含的Fortran代码，不是为缺乏秩的矩阵而设计的，所以它不会为无法确定的变量组成值。

还有什么是运行时警告的处理“对角线数字％d恰好为零。奇异矩阵”。

警告很明显：算法检测到一个奇异矩阵，这是不期望的。它还告诉您，该实现不适用于奇异矩阵。

具有在范围空间A
中的向量b

理论上这是。在实践中，由于浮点算术中固有的错误，人们不能确定任何位于秩缺陷矩阵的范围空间中的东西。您可以计算b = A.dot(...)，然后尝试解决Ax = b，并且由于操作浮点数时引入的错误，将不会有解决方案。

顺便说一下：你提到每个方阵都存在PLU因子分解，但SciPy并不一定是为计算它而设计的。例如，

scipy.linalg.lu_factor(np.array([[0, 1], [0, 0]]))

返回带有NaN的矩阵。在您的情况下，NaN在尝试找到解决方案并遇到因子U的零对角线元素时会出现。

Answer 2

如上所述here，当且仅当rank(A11) + k >= rank([A11 A12]) + rank([A11 A21])时，矩阵具有LU分解。在您的情况下，rank(A11) = 3，k = 5，和rank([A11 A12]) + rank([A11 A21]) = 9。因此，矩阵不满足条件，并且没有LU分解。

没有使用lu分解来求解奇异方阵？

2 个答案: