Question

我正在尝试创建一个以正方形（n-by-n）矩阵作为输入的程序，如果它是可逆的，LU将使用高斯消除来分解矩阵。

这是我的问题：在课堂上我们了解到最好更改行，以便您的数据轴始终是其列中的最大数字（绝对值）。例如，如果矩阵为A = [1,2;3,4]，则切换行为[3,4;1,2]，然后我们可以继续进行高斯消除。

我的代码适用于不需要行更改的矩阵，但对于那些不需要行更改的矩阵，它可以正常工作。这是我的代码：

function newgauss(A)
    [rows,columns]=size(A);
    P=eye(rows,columns); %P is permutation matrix
    if(det(A)==0) %% determinante is 0 means no single solution
        disp('No solutions or infinite number of solutions')
        return;
    end
    U=A;
    L=eye(rows,columns);
    pivot=1;
    while(pivot<rows)
        max=abs(U(pivot,pivot));
        maxi=0;%%find maximum abs value in column pivot
        for i=pivot+1:rows
            if(abs(U(i,pivot))>max)
                max=abs(U(i,pivot));
                maxi=i;
            end
        end %%if needed then switch
        if(maxi~=0)
            temp=U(pivot,:);
            U(pivot,:)=U(maxi,:);
            U(maxi,:)=temp;
            temp=P(pivot,:);
            P(pivot,:)=P(maxi,:);
            P(maxi,:)=temp;
        end %%Grade the column pivot using gauss elimination
        for i=pivot+1:rows
            num=U(i,pivot)/U(pivot,pivot);
            U(i,:)=U(i,:)-num*U(pivot,:);
            L(i,pivot)=num;
        end
        pivot=pivot+1;
    end
    disp('PA is:');
    disp(P*A);
    disp('LU is:');
    disp(L*U);
end

澄清：由于我们正在切换行，因此我们希望将P（置换矩阵）时间A分解，而不是我们输入的原始A。

代码说明：

首先，我检查矩阵是否可逆，如果不是，则停止。如果是，则是（1,1）
我找到第1列中的最大数字，并切换行
使用高斯消除对第1列进行评级，将除了点（1,1）之外的所有部分都转为零
Pivot现在（2,2），找到第2列中最大的数字......冲洗，重复

Answer 1

您的代码似乎可以正常工作，至少对于基本示例A=[1,2;3,4]或A=[3,4;1,2]。将您的函数定义更改为：

function [L,U,P] = newgauss(A)

因此您可以输出您的计算值（比使用disp好得多，但这也显示了正确的结果）。然后你会看到P*A = L*U。也许你期望L*U直接等于A？您还可以通过Matlab的lu函数确认您的信息是正确的：

[L,U,P] = lu(A);
L*U
P*A

Permutation matrices是正交矩阵，因此P ^-1 = P ^T。如果您想在代码中找回A，可以执行以下操作：

P'*L*U

同样，使用Matlab的lu和置换矩阵输出，你可以这样做：

[L,U,P] = lu(A);
P'*L*U

（您还应该使用error或warning，而不是使用disp来检查行列式，但他们可能不会教这个。）

Answer 2

请注意det函数是使用LU分解本身实现的，以计算行列式...递归任何人：）

除此之外，还会提醒页面末尾，建议使用cond代替det来测试矩阵奇点：

使用abs(det(X)) <= tolerance测试奇点不是建议因为很难选择正确的公差。该函数cond(X)可以检查单数和近似单数矩阵。

COND使用奇异值分解（参见其实现：edit cond.m）

Answer 3

对于将来发现这一点且需要有效解决方案的人：

OP的代码不包含在创建置换矩阵L时在P中切换元素的逻辑。与Matlab的lu(A)函数提供相同输出的调整后代码为：

function [L,U,P] = newgauss(A)
    [rows,columns]=size(A);
    P=eye(rows,columns); %P is permutation matrix
    tol = 1E-16; % I believe this is what matlab uses as a warning level
    if( rcond(A) <= tol) %% bad condition number
        error('Matrix is nearly singular')
    end
    U=A;
    L=eye(rows,columns);
    pivot=1;
    while(pivot<rows)
        max=abs(U(pivot,pivot));
        maxi=0;%%find maximum abs value in column pivot
        for i=pivot+1:rows
            if(abs(U(i,pivot))>max)
                max=abs(U(i,pivot));
                maxi=i;
            end
        end %%if needed then switch
        if(maxi~=0)
            temp=U(pivot,:);
            U(pivot,:)=U(maxi,:);
            U(maxi,:)=temp;
            temp=P(pivot,:);
            P(pivot,:)=P(maxi,:);
            P(maxi,:)=temp;

            % change elements in L-----
            if pivot >= 2
                temp=L(pivot,1:pivot-1);
                L(pivot,1:pivot-1)=L(maxi,1:pivot-1);
                L(maxi,1:pivot-1)=temp;
            end
        end %%Grade the column pivot using gauss elimination
        for i=pivot+1:rows
            num=U(i,pivot)/U(pivot,pivot);
            U(i,:)=U(i,:)-num*U(pivot,:);
            L(i,pivot)=num;
        end
        pivot=pivot+1;
    end
end

希望这有助于将来绊倒这个人。

LU分解方阵matlab高斯消除

3 个答案: