Gauss-Jordan消除与LU分解

Question

在“黑皮书”，Numerical Recipes第3版中，给出了求解线性方程组的Gauss-Jordan算法。之后直接是关于计算LU分解然后使用它来解决线性方程组的部分（参见第53页的LUdcmp :: solve）。不幸的是，这本书没有解释为什么人们更喜欢一种方法而另一种方法。这两种方法是否相同，或者是否有理由在特定情况下更喜欢一种方法？

Answer 1

使用LU分解的优点是可以重复使用它来计算多个解决方案。

例如，如果你想解决方程式

Ax = b

对于常量A和许多不同的b s，您只需计算一次A的LU分解，并且可以为每个b重复使用它。但是，如果消除Gauss-Jordan，则必须为每个b

重新完成所有工作

这更快的原因是因为高斯 - 乔丹消除量级为O（n ^ 3），但LU分解方法的替换步骤仅缩放为O（n ^ 2）。因此，对于LU案例，您只需为每个b执行一次昂贵的O（n ^ 3）步骤。

可以在here

找到一套合理的注释

Answer 2

实际上，高斯·乔丹比LU快得多。执行一些C代码，您将无法理解，因为与LU相比，在Gauss-Jordan中使用的代码更少，for循环更少。