scipy LU分解置换矩阵

Question

据我了解LU分解，这意味着对于下三角矩阵L和上三角矩阵U，矩阵A可写为A = LU。

然而，与LU分解相关的scipy函数（lu，lu_factor，lu_solve）似乎涉及第三个矩阵P，这样A = PLU和P是一个排列矩阵（和L，U一样）。

这个排列矩阵有什么意义？如果总是可以进行“真正的”LU分解，为什么P必须是单位矩阵以外的东西？

Answer 1

考虑高斯消除过程。如果枢轴上有零，你会怎么做？你必须切换行，这会引入一个P矩阵。

此外，非常小的非零枢轴值会导致浮点环境中的数值不稳定。基本算法通过在pivot列中搜索具有最大绝对值的条目并使用pivot行切换相应的行来避免这种情况。

这个开关可能很昂贵，所以通常最大绝对值输入必须大于枢轴的绝对值一些因素，例如： 10，用于切换发生。这减少了交换机的数量，但保留了限制浮点错误所需的那些。

使用部分旋转搜索＆＃34; LU分解＆＃34;关于这个问题的任何数量的好资源。

注意：由于P是置换矩阵，P ^ T = P ^（ - 1）。因此，Ax = b与LUx = P ^ T b具有相同的解决方案（一些实现返回您称为P的内容，而其他实现返回您称之为P ^ T并将其称为P - 确保您知道它是哪一个。它的区别在于PA = LU＆＃39;和＆＃39; A = PLU＆＃39; - P在每种情况下都不相同）。

Answer 2

并非所有矩阵都有LU分解。但是每个方阵都至少有一行排列和LU分解。

Answer 3

要添加到@DomJack： 更改排列（也称为重新排序）也会影响L和U因子中的非零数。因此，重新排序可以在内存方面实现更有效的分解。