Question

我无法理解Numpy关于奈奎斯特频率的行为。请考虑以下示例：

import numpy as np
x=np.linspace(0, 2*np.pi, 21)[:-1]
k=np.fft.rfftfreq(len(x), d=x[1]-x[0])

FFT=np.fft.rfft(x)

x1=np.fft.irfft(1j*k*FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(1j*k*FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印True。显然，我对FFT中的奈奎斯特频率做了什么并不重要，结果始终相同，忽略了变化。奇怪的是，当试图恢复功能时没有发生这种情况（没有推导）：

x1=np.fft.irfft(FFT)
FFT[-1]+=1e5
x2=np.fft.irfft(FFT)

print(np.allclose(x1,x2))

打印False。

我可能误解了奈奎斯特频率在这里（维基百科和其他来源不是很有帮助）但是这两种结果都不应该受到奈奎斯特频率变化的影响吗？我能找到的最接近的解释是奈奎斯特频率应该是一个实数，但似乎仍然无法解释这两种行为。

我问这个的原因是因为我试图通过Fortran code来重现我知道正确的结果，这些结果确实可以用奈奎斯特频率进行区分。我的结果总是大约1％，我猜这是罪魁祸首。

Answer 1

r中的np.fft.rfft()表示您在实际输入中使用DFT。但如果这不是真的，那么你将获得像这样的意外的行为。只需将fft函数用于复杂值即可。作为旁注，请始终尝试检查您的数据。

编辑（补充说明）：

特别是，当您计算“真实输入的DFT”时，您要对数据强制执行某些属性，即实值函数的（D）FT，意味着（D）FT变换是厄米对称的，并且因此负（D）FT系数是冗余的，因此rfft和更晚irfft针对此假设下的计算进行了优化。有关详细信息，请参阅其文档np.fft.rfft()和np.fft.irfft()。

简单地说，由于这个预期的奇偶校验，你的系数的一半（负数）将不会由np.fft.rfft()计算，并且由于（D）FT变换的奇偶性，第一个分量是纯粹的（通过定义），最后一个组件也是纯粹的（为方便起见）。由于1j乘法，在随后的irfft调用中，纯粹真实的东西现在纯粹是虚构的（反之亦然）。由于irfft()将忽略第一个和最后一个组件的虚部，因此您的语句不会影响其结果。

使用Numpy和Nyquist频率的FFT导数

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