为什么使用FFT在信号中舍入频率值？

Question

因此，我试图弄清楚如何在实践中使用DFT来检测信号中的普遍频率。我一直在努力思考傅立叶变换是什么以及DFT算法是如何工作的，但是显然我还有路要走。我已经编写了一些代码来生成信号（因为意图是要与音乐一起使用，所以我生成了一个大的C和弦，因此产生了奇怪的频率值），然后尝试返回到频率编号。这是我的代码

sr = 44100 # sample rate
x = np.linspace(0, 1, sr) # one second of signal
tpi = 2 * np.pi
data = np.sin(261.63 * tpi * x) + np.sin(329.63 * tpi * x) + np.sin(392.00 * tpi * x)
freqs = np.fft.fftfreq(sr)
fft = np.fft.fft(data)
idx = np.argsort(np.abs(fft))
fft = fft[idx]
freqs = freqs[idx]
print(freqs[-6:] * sr)

这给了我[-262. 262. -330. 330. -392. 392.] ，它与我编码的频率（261.63、329.63和392.0）不同。我在做什么错以及如何解决？

Answer 1

DFT结果仓的频率间隔为Fs / N，其中N为FFT的长度。因此，DFT窗口的持续时间会限制DFT结果仓频率中心间隔的分辨率。

但是，对于低噪声（高S / N）中分离良好的频率峰，无需增加数据的持续时间，而是可以通过在DFT结果之间插值DFT结果，将频率峰的位置估算为更高的分辨率。垃圾箱。您可以尝试使用抛物线插值法进行粗略的频率峰值位置估算，但是开窗Sinc插值法（本质上是Shannon-Whittaker重建）将提供更好的频率估算精度和分辨率（假设感兴趣的频率峰值周围有足够低的噪底，例如在您的人造波形盒中没有附近的正弦波。）

Answer 2

实际上，如果帧持续T秒，则DFT的频率为k/T Hz，其中k为整数。结果，只要将这些频率识别为DFT大小的最大值，过采样就不会提高估计频率的准确性。相反，考虑较长的帧，持续100s，则会在DFT频率之间产生0.01Hz的间隔，这可能足以产生预期的频率。 通过将峰值的频率估计为相对于功率密度的平均频率，可以得到更好的结果。

图1：即使在应用了Tuckey窗口之后，窗口信号的DFT也并非狄拉克之和：在峰的底部仍然存在一些频谱泄漏。在估算频率时必须考虑此功率。

另一个问题是帧的长度不是信号周期的倍数，该信号周期可能不是周期性的。尽管如此，DFT的计算就像信号是周期性的，但在帧的边缘是不连续的。它会引起被称为光谱泄漏的杂散频率。窗口化是处理此类问题并减轻与人为间断相关的问题的参考方法。实际上，窗口的值在帧的边缘附近连续减小到零。 There is a list of window functions中提供了scipy.signal和许多窗口功能。窗口将应用为：

tuckey_window=signal.tukey(len(data),0.5,True)
data=data*tuckey_window

那时，最大振幅的频率仍然是262、330和392。应用窗口只会使峰值更加可见：窗口信号的DFT具有三个不同的峰值，每个峰值都具有中心波瓣和旁波瓣，具体取决于窗口的DFT。 这些窗口的波瓣是对称的：因此可以将中心频率计算为相对于功率密度的峰值平均频率。

import numpy as np
from scipy import signal
import scipy

sr = 44100 # sample rate
x = np.linspace(0, 1, sr) # one second of signal
tpi = 2 * np.pi
data = np.sin(261.63 * tpi * x) + np.sin(329.63 * tpi * x) + np.sin(392.00 * tpi * x)

#a window...
tuckey_window=signal.tukey(len(data),0.5,True)
data=data*tuckey_window

data -= np.mean(data)
fft = np.fft.rfft(data, norm="ortho")

def abs2(x):
        return x.real**2 + x.imag**2

fftmag=abs2(fft)[:1000]
peaks, _= signal.find_peaks(fftmag, height=np.max(fftmag)*0.1)
print "potential frequencies ", peaks

#compute the mean frequency of the peak with respect to power density
powerpeak=np.zeros(len(peaks))
powerpeaktimefrequency=np.zeros(len(peaks))
for i in range(1000):
    dist=1000
    jnear=0
    for j in range(len(peaks)):
        if dist>np.abs(i-peaks[j]):
             dist=np.abs(i-peaks[j])
             jnear=j
    powerpeak[jnear]+=fftmag[i]
    powerpeaktimefrequency[jnear]+=fftmag[i]*i


powerpeaktimefrequency=np.divide(powerpeaktimefrequency,powerpeak)
print 'corrected frequencies', powerpeaktimefrequency

最终的估计频率为261.6359 Hz，329.637Hz和392.0088 Hz：比262、330和392Hz好得多，并且满足这种纯无噪声输入信号所需的0.01Hz精度。

Answer 3

由于要获得0.01 Hz的分辨率，因此需要至少采样100秒的数据。您将能够解析高达约22.05 kHz的频率。