如何选择包含任何k个节点的图的最小子图

Question

我正在尝试解决下面的问题。它就像k-minimum-spanning-tree和steiner tree问题，但是它带有图形。

• 我们有一个非负的无向加权图G =（V，E）。
• 对于每对顶点v1和v2，存在边e12。换句话说，每个顶点都连接到每个其他顶点。
• 我们将创建包含k个顶点的顶点U的子集。
• 我们的目标是选择U中的n个顶点，使得U中每个顶点到每个其他顶点的边的总和最小化。换句话说，我们想要选择U中的顶点，以便U向外节点的所有边的总和最小化。
• 1＆lt; n＆lt;顶点数

我是否认为k-MST或Steiner树近似解决方案都不起作用？如果是这样，这个问题叫什么？什么是解决方案？我可以使用启发式或近似来解决这个问题，并且不需要正式的证明。

Answer 1

我不知道是否有更快的算法，但是琐碎的算法（如果我的解释是正确的）是：

• 构建一个数组/地图，其中包含从vi到任何其他顶点的每条边的权重之和。如果您考虑图形的矩阵表示，其中每个行/列是一个顶点，每个单元格是边缘上的权重。数组将是每行的总和。
• 生成所有k个大小的顶点子集，保留其总和最小的一个。

如果有n个顶点，则会探索{{1}}这样的组合。

Answer 2

KD MST或Steiner树不起作用是正确的 - 它们只产生树，而你需要一个具有特殊属性的图形，例如：如果我理解你的问题，那么U中的顶点之间的成本为0，所有其他边的成本最低。

虽然juancn's回答看起来是正确的，但我认为使用类似metaheuristic的内容，例如<{3}}或simulated annealing方法会更好。

对于metaheuristics：

1. 计算每个顶点的边缘成本
2. Greedely选择 k 顶点 - 它形成初始解决方案
3. 在SA的情况下，开始修改初始解决方案是逐个包含/排除新顶点（也许有更好的方法，你应该自己研究）
4. 如果有足够的时间，它应该收敛到足够好的解决方案

对于约束满足：

1. 目标：从给定图形中选择 k 顶点。为每个顶点引入 布尔变量，如果它是 1 - 顶点是U的一部分，否则，它是 0 。然后你的目标是：

  

sum（vertices == 1）= k

1. 受制于： k -vertices与其他之间的边缘权重的最小总和。如果我是正确的，U的边缘成本是0.我不知道如何恰当地制定这样的约束，但它们应该相当简单。
2. 运行一个超时解算器，让我们说几个小时。

对于最后一种方法，约束满足，内存可能是一个问题 - 您需要大量内存来表示完全连接的图形和所有约束。不过，请检查constraint satisfaction，Minizinc和lpsolve项目。