我有一个未加权的连接图。我想找到一个连接的子图，它肯定包含一组特定的节点，并且尽可能少的附加内容。怎么能实现呢？
为了以防万一，我将使用更精确的语言重述问题。设G（V，E）为未加权，无向连通图。设N是V的某个子集。找到G（V，E）的最小连通子G'（V'，E'）的最佳方法是什么，这样N是V'的子集？
近似值很好。
答案 0 :(得分：9)
这正是众所周知的NP难Steiner Tree问题。如果没有关于实例的详细信息，很难就适当的算法提供建议。
答案 1 :(得分：5)
我无法想到找到最佳解决方案的有效算法，但假设您的输入图形密集，以下内容可能效果不错：
将输入图G(V, E)转换为加权图G'(N, D)，其中N是要覆盖的顶点子集，D是距离（路径）原始图中相应顶点之间的长度）。这将“折叠”您不需要的所有顶点到边缘。
计算G'。
通过以下过程“展开”最小生成树：对于最小生成树中的每个边d，采用图G中的相应路径并添加所有顶点（包括端点） ）在结果集V'的路径上以及结果集E'的路径中的所有边。
此算法很容易绊倒以提供次优解决方案。示例案例：等边三角形，其中在拐角处，在边的中点和三角形的中间存在顶点，并且沿着边的边缘以及从角的边缘到三角形的中间。为了覆盖角落，它足以选择三角形的单个中点，但是这个算法可能会选择边。尽管如此，如果图表密集，它应该可以正常工作。
答案 2 :(得分：3)
最简单的解决方案如下：
a）基于mst：
- 最初，V的所有节点都在V'
- 构建图G（V，E）的最小生成树 - 称之为T.
- loop：对于不在N中的T中的每个叶v，从V'中删除v
- 重复循环，直到T中的所有叶子都在N.
在算法开始时：使用任何已知的有效算法计算G中的所有最短路径。
就个人而言，我在我的一篇论文中使用过这种算法，但它更适合分布式环境。 设N是我们需要互连的节点集。我们想要构建图G的最小连通支配集，并且我们希望为N中的节点赋予优先级。 我们给每个节点u一个唯一的标识符id（u）。如果你在N中，我们让w（u）= 0，否则w（1）。 我们为每个节点u创建对（w（u），id（u））。
每个节点u构建一个多集中继节点。也就是说，1跳邻居的集合M（u）使得每个2跳邻居是M（u）中的至少一个节点的邻居。 [最小M（u），解决方案越好]。
当且仅在以下情况下，你在V'中： 你的所有邻居中都有最小的对（w（u），id（u））。 或者在M（v）中选择u，其中v是具有最小（w（u），id（u））的u的1跳邻居。
- 以集中方式执行此算法时的技巧是在计算2跳邻居时有效。我可以从O（n ^ 3）得到的最好的是通过矩阵乘法得到O（n ^ 2.37）。
- 我真的想知道最后一个解决方案的近似比例是什么。
我喜欢这个steiner树启发式的参考： 施泰纳树问题，黄禹兰; Richards Dana 1955- Winter Pawel 1952
答案 3 :(得分：1)
您可以尝试执行以下操作：
为所需的节点N创建minimal vertex-cover。
将这些可能未连接的子图折叠到“大”节点中。也就是说，对于每个子图，将其从图中删除，并将其替换为新节点。调用这组节点N'。
在N'中执行节点的最小顶点覆盖。
“解压缩”N'中的节点。
不确定它是否在某个特定范围内给出近似值。你甚至可以欺骗算法做出一些非常愚蠢的决定。