连接子图的直径与所有节点

Question

引理1： 如果H是图G的子图，那么dist_G（u，v）＆lt; = dist_H（u，v）。

证明 H中的每个u-v路径也出现在G中，并且G可能具有比H中的任何u-v路径短的其他u-v路径。

引理2： 如果H是图G的子图，那么V（H）= V（G） 直径（G）≤diameter（H）

证明

1. 直径（G）=所有u的最大{dist_G（u，v）}，V（G）中的v
2. 假设某些x的直径（G）= dist_G（x，y），V（G）= V（H）
中的y
3. 直径（H）= dist_H（a，b）对于某些a，b在V（H）= V（G）
4. 注意所有s的dist_H（s，t）＆lt; = dist_H（a，b），V（H）中的t
5. dist_G（x，y）＆lt; = dist_H（x，y）for lemma 1
6. dist_H（x，y）＆lt; = dist_H（a，b）for（4）
7. 因此直径（G）<=直径（H）

不难看出我们是否将H替换为任何子图，然后引理不成立。 所以我的问题是，在之前的证明中，我何时使用H连接。 感谢

Answer 1

根据定义，图形的直径仅针对连通图形定义（否则无法计算未连接的两点之间的最小距离）。