#Recurrence T（n）= 3T（n / 3）+Ѳ（log 3n）

Question

对不起，我已经尝试了很多来解决这个递推方程 T（n）= 3T（n / 3）+Ѳ（log3n）  使用替换方法但我无法获得所需的结果：

1）T（n）= O（nlogn）

2）归纳      基数：对于每个n = 1 - > 1log1 + 1 = 1 = T（1）

  Inductive step: T (k) = klogk + k for each k <n

 Use k = n / 3

T（n）= 3T（n / 3）+Ѳ（log 3n）

1）T（n）= O（nlogn）

2）归纳

 Base: for every n = 1 -> 1log1 + 1 = 1 = T (1)

  Inductive step: T (k) = klogk + k for each k <n

 Use k = n / 3

T（n）= 3T（n / 3）+Ѳ（log 3n）

= 3 [n / 3logn / 3 + n / 3] +（log 3n）

= nlogn / 3 + n +（log 3n）

= n（logn-log3）+ n +（log 3n）

= nlogn-nlog3 + n +（log3n）

Answer 1

首先，我们可以（最终）忽略Theta-notation中的基数3，因为它相当于乘法因子，因此无关紧要。然后我们可以尝试以下方法：

1。通过检查假设：

如果我们多次将T重新替换为自己，我们会得到：

上限m是多少？我们需要假设T(n)有一个停止条件，即某些值n停止递归。假设它是n = 1（它确实无关紧要，只要它是一个远小于n的常数）。继续（并简要恢复基础3）：

令人惊讶的是答案不是Ө(n log n)。

2。感应基础案例

我们不会使用归纳来证明最终结果，但我们通过检查扩展的行为推断出系列结果。

对于基本案例n / 3 = 1，我们有：

这是一致的。

3。诱导复发

再次，一致。因此，通过归纳，求​​和结果是正确的，T(n)确实是Ө(n)。

4。数值测试：

万一你仍然不能相信它是Ө(n)，这是一个证明结果的数值测试。

Javascript代码：

function T(n) {
   return n <= 1 ? 0 : 3*T(floor(n/3)) + log(n);
}

结果：

n           T(n)
--------------------------
10          5.598421959
100         66.33828212
1000        702.3597066
10000       6450.185742
100000      63745.45154
1000000     580674.1886
10000000    8924162.276
100000000   81068207.64

图表：

线性关系很明确。