将具有一定大小的矩形放入矩阵

Question

问题
我需要将大小为n×m的矩形放入大小为N×M的矩阵的自由区域，其中N=n*2-1，M=m*2-1。如果矩阵单元格为true，则认为它是免费的，如果它是false则被占用。中心单元格始终为true，由于矩形和矩阵的大小，中心单元格始终位于矩形内部。

附加要求是矩形和中心单元的左上角之间的距离必须尽可能小。

n=8和m=5的示例：

灰色单元格 - 占用，绿色 - 中心单元格，蓝色单元格 - 解矩形，红线 - 矩形左上角与中心单元格之间的距离。

尝试
蛮力解决方案将具有O（N×M×n×m）时间复杂度，这不是非常优化的。如果我预处理矩阵，我可以消除某些单元格中的计算，但这仍然会花费太多时间。

最初我认为我可以采用Max Rectangle Problem并且只是修改条件从max到需要，但是它走到了死胡同（我需要列出直方图中的所有矩形，我不知道如何）。然后我认为它就像打包问题，但我能找到的只是它的版本，最初是完全空的空间和多个矩形，这不适用于这个问题。

上下文
在过去，当用户点击网格时，我的程序会放置矩形，左上角与点击点重合，如果它是空的，如果它已经占用了矩形所在的单元格则会失败。我决定修改这种行为，而不是失败，找到最合适的矩形位置，同时仍然包含一个点击点。在上面的矩阵图中，单击点是绿色单元格，矩阵大小表示矩形的所有可能位置。

P.S。如果可能的话，我更喜欢真实的语言示例而不是伪代码。我的程序是用Java编写的，但任何语言都可以。

Answer 1

您可以通过以下方式在O(N.M)空间和时间复杂度中执行此操作：

1. 计算O(N.M)
中的summed area table
2. 迭代所有左上角，检查矩形中的求和区域是否等于n.m，如果到中心的距离有所改善，则更新最佳位置。每个左上角的测试结果为O(1)，左上角有O(N.M)个，因此整体O(N.M)

关键思想是总和区域表允许您在O（1）时间内计算任意矩形的总和。