矩阵中可能的矩形数

Question

我正在经历一种计算矩阵区域之和的算法。我读了一个预先计算总和的解决方案，以获得更好的结果。我想计算大小为mXn的2d矩阵中矩形（sub Maxtix）的可能数量。

任何人都可以使用排列和组合解释解决方案。

Answer 1

首先从最简单的案例开始：

Start with m x n, thats 1 rectangle.
Reduce n by 1, that gives another 2.
Reduce n by 1, that gives another 3.
Reduce n by 1, that gives another 4.

你看到了模式吗？

当n下降到1时，从m中减去1，然后重新开始：

Start with m-1 x n, thats 2 rectangles.
Reduce n by 1, that gives another 4.
Reduce n by 1, that gives another 6.
Reduce n by 1, that gives another 8.

你看到的模式了吗？？

现在你推断为m-2，m-3，m-4，......，1。

现在从开头开始先减少n，然后是n（或简单地将所有结果加倍，除了mxn）。

所有这些结果的总和就是你的答案。

Answer 2

这不是算法，而是计数问题。 尝试计算1X1矩阵和1X2 2X1 3X2等矩形的数量然后你会看到

num_of_rect(mXn) = sum(i*j) for 0<i<m+1; 0<j<n+1

---

在python中：

def countRect(n,m):
    return sum([i*j for i in xrange(n+1) for j in xrange(m+1)])

if __name__ == "__main__":
    print countRect(2,3)

给出18

Answer 3

您只需选择要包含哪些行和哪些列（参见图片），即可计算a，b> = 2的所有矩形a * b：

C(m,2)*C(n,2)

您可以使用＆gt; = 2来计算* 1个矩形

C(m,2)*n

和1 * b矩形，b> = 2，通过

m*C(n,2)

和1 * 1矩阵通过：

m*n

所以添加这些作为最终答案：

C(m,2)*C(n,2) + C(m,2)*n + m*C(n,2) + m*n

Answer 4

m x n矩阵中任何大小的可能矩形数

mn +（m-1）（n-1）+（m-2）（n-1）+ .. +（m-m + 1）（n-1）+（m-1）（m -2）+ .. +（mm）（nn）

[0，m]中i的总和{i * j}; j在[0，n]

中