Question

我正在读Jeremy Gibbons＆＃39;关于origami programming的文章，我坚持练习3.7，要求读者证明融合法列表展开：

unfoldL p f g . h = unfoldL p' f' g'

如果

p . h = p'
f . h = f'
g . h = h . g'

展开列表的函数unfoldL定义如下：

unfoldL :: (b -> Bool) -> (b -> a) -> (b -> b) -> b -> List a
unfoldL p f g b = if p b then Nil else Cons (f b) (unfoldL p f g (g b))

以下是我目前对证据的尝试：

(unfoldL p f g . h) b
=   { composition }
unfoldL p f g (h b)
=   { unfoldL }
if p (h b) then Nil else Cons (f (h b)) (unfoldL p f g (g (h b)))
=   { composition }
if (p . h) b then Nil else Cons ((f . h) b) (unfoldL p f g ((g . h) b))
=   { assumptions }
if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p f g ((h . g') b))
=   { composition }
if p' b then Nil else Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b))
=   { ??? }
if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p' f' g' (g' b))
=   { unFoldL }
unFoldL p' f' g'

我不确定如何证明标有???的步骤。我应该在b上对函数应用程序使用某种归纳法？相关问题：什么是解释和激励各种归纳技术的好资源，如结构诱导？

Answer 1

我没看过Gibbons的文章，可能还有其他技术可供他参考，但这就是我所知道的。

你正在寻找某种感应，这是一种很好的直觉，因为你需要的东西与你想要证明的东西非常相似。但你实际上需要在这里进行共同诱导。这是因为unfoldL可以生成无限列表。在正式类型系统中，很难证明两个无限结构是“平等的” - 形式上的平等太强大而不能证明大多数结果。相反，我们证明bisimilarity，在非正式的情况下也可能是平等的。

相似性在理论上是棘手的，我不会进入它（部分是因为我不完全理解基础），但在实践中使用它并不太难。基本上，为了证明两个列表是相似的，你证明它们都是Nil，或者它们都是Cons具有相同的头部并且它们的尾部是相似的，你可以使用证明尾巴的相似性时的共同假设（但不是其他地方）。

所以对你来说，我们通过共同证明了所有b 的（因为我们需要对不同的b s使用共同假设）：

(unfoldL p f g . h) b ~~ unfoldL p' f' g' b

到目前为止我们已经
了
(unfoldL p f g . h) b = { your reasoning } if p' b then Nil else Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b))

根据p' b上的案例进行分析，如果p' b为True，则

if p' b then Nil else Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b)) = { p' b is True } Nil ~~ { reflexivity } Nil = { p' b is True } if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p' f' g' (g' b)) = { unfoldL } unfoldL p' f' g'

如果p' b为假，那么

if p' b then Nil else Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b)) = { p' b is False } Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b)) *** ~~ { bisimilarity Cons rule, coinductive hypothesis } *** Cons (f' b) (unfoldL p' f' g' (g' b)) = { p' b is False } if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p' f' g' (g' b)) = { unfoldL }

标有***的行是关键行。首先，请注意它是~~而不是=。此外，我们被允许仅在Cons构造函数下使用coinductive假设。如果我们被允许在其他任何地方使用它，那么我们可以证明任何两个列表是相似的。

Answer 2

经过一些谷歌搜索后，我发现了同一个杰里米·吉本斯（和格雷厄姆·赫顿）发表的论文proof methods for corecursive programs; 该文章包括一个关于互模拟和共同引用的部分，@ luqui在接受的答案中使用的证明技术。第6节使用展开的普遍性来证明融合法。为了完整起见，我复制了下面的证明。

unfoldL的通用属性：

h = unfoldL p f g
<=>
∀ b . h b = if p b then Nil else Cons (f b) (h (g b))

融合法的证明：

unfoldL p f g . h = unfoldL p' f' g'
<=> { universal property }
∀ b . (unfoldL p f g . h) b = if p' b then Nil else Cons (f' b) ((unfoldL p f g . h) (g' b))
<=> { composition }
∀ b . unfoldL p f g (h b) = if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p f g (h (g' b)))
<=> { unfoldL }
∀ b . if p (h b) then Nil else Cons (p (h b)) (unfoldL p f g (g (h b))) = if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p f g (h (g' b)))
<=> { composition }
∀ b . if (p . h) b then Nil else Cons (p . h) b (unfoldL p f g ((g . h) b)) = if p' b then Nil else Cons (f' b) (unfoldL p f g ((h . g') b))
<=  { assumptions }
(p . h = p') ^ (f . h = f') ^ (g . h = h . g')

证明融合法的展开

2 个答案: