Question

Tutte和Thomassen有一个猜想（有限和无限图的平面性和二元性，1979）说这个

可以获得3连通图从一个轮子通过成功地添加一个边缘并将顶点分成两部分至少相邻的顶点三个使边缘连接起来不包含在3个循环中。要是我们应用更一般的分裂操作（即，我们允许边缘将两个新顶点连接起来包含在3个循环中）然后我们可以从K_4开始，我们只需要分裂操作以便生成所有3连通图。

我正在尝试使用iGraph和Python实现上一次声明的操作。

我想定义一个函数splitVertex（g，v），取一个图g和一个顶点v，然后在操作定义时以所有可能的方式拆分v。然后我想要一份所有这些新图表的清单，我会对它们做进一步的工作。

此时，我有以下函数创建两个新的顶点x和y，它们将是拆分后新创建的顶点。

def splitVertex(g,v):
    numver = g.vcount()

    g.add_vertices(2)

   x = numver
    y = numver+1

    g.add_edges([(x,y)])

有人可以用一种很好的方式来帮我解决这个问题吗？我知道这会产生大量的数据，但没关系，我有充足的时间;）

编辑：当然这必须以某种方式控制，因为3连通图的数量是无限的，但这不是这个问题所关注的。

Answer 1

您的拆分操作应该更复杂一些。您需要修改用于连接到v的所有边缘，以便连接到x或y。

def splitVertex(g,v):
  numver = g.vcount()
  g.add_vertices(2)
  x = numver
  y = numver+1
  g.add_edges([(x,y)])

  neighbors = g.neighbors(v)
  g.delete_vertices([v])

  new_graphs = []
  for (neighbors_of_x, neighbors_of_y) in set_split(neighbors):
    if len(neighbors_of_x) < 2: continue
    if len(neighbors_of_y) < 2: continue
    g2 = g.copy()
    g2.add_edges(map(lambda neighbor_of_x: [neighbor_of_x, x], neighbors_of_x))
    g2.add_edges(map(lambda neighbor_of_y: [neighbor_of_y, y], neighbors_of_y))
    new_graphs.add(g2)
  return new_graphs

set_split应该生成将neighbors分成两组的所有可能方法。

然后，您需要为v生成所有可能的选项，并将其应用于每个图表。

您可能会获得许多同构图。我想有一个更好的方法可以做到这一切，不能把它想到头顶。

Answer 2

基于Keith's solution。这是完全未经测试的，但我想一般的想法是可以的。此版本生成拆分，而不是一次返回所有拆分。

from itertools import chain, combinations

def powerset(iterable):
    "Returns all the possible subsets of the elements in a given iterable"
    s = list(iterable)
    return chain.from_iterable(combinations(s, r) for r in range(len(s)+1))

def partition(iterable):
    "Returns all the possible ways to partition a set into two subsets"
    s = set(iterable)
    for s1 in powerset(s):
        yield s1, s-s1

def split_vertex(graph, v1):
    # Note that you only need one extra vertex, you can use v for the other
    v2 = graph.vcount()
    graph.add_vertices(1)

    # Find the neighbors of v1
    neis = set(graph.neighbors(v1))

    # Delete all the edges incident on v1 - some of them will be re-added
    g.delete_edges(g.incident(v1))

    # Iterate over the powerset of neis to find all possible splits
    for set1, set2 in partition(neis):
        if len(set1) < 2 or len(set2) < 2:
            continue

        # Copy the original graph
        g2 = g.copy()

        # Add edges between v1 and members of set1
        g2.add_edges([(v1, v3) for v3 in set1])

        # Add edges between v2 and members of set2
        g2.add_edges([(v2, v3) for v3 in set2])

        # Return the result
        yield g2

生成所有可能的3连通图

2 个答案: