Question

我正在尝试用简单的K来计算简单连接图的数量边和N个明显标记的顶点。我在下面编写了这段代码，但似乎没有用。

这个想法是这种图形没有孤立的顶点，所以我对N个顶点和K个边缘执行此操作。

Connected(N,K):
1) Total = all possible graphs, including disconnected ones.
2) Disconnected = Sum from i=1 to i=N-1 [(Connected(i,K)*(number of ways to
    choose i vertices from all N vertices)]
3) return Total-Disconnected

Python代码：

#c dict just stores previous combinations
c = {}    

def answer(N, K):
    ways = connected(N, K)
    return str(ways)

#number of simple graphs using exactly n vertices and k edges. no isolated vertices
def connected(n, k):
    if k < n-1:
        return 0
    edges = n*(n-1)/2
    if k > edges:
        return 0

    #number of all possible graphs with n vertices and k edges
    ways = choose(edges, k)

    #subtract number of graphs that are not connected
    for i in range(1, n):
        ways -= connected(i, k)*choose(n, i)
    return ways

#calculates nCk
def choose(n, k):
    key = str(n)+","+str(min([k,n-k]))+"/"+str(max([k,n-k]))
    if key in c:
        return c[key]
    else:
        top = fact(n)
        bottom = fact(k)*fact(n-k)
        ans = top/bottom
        c[key] = ans
        return ans

#factorial
def fact(num):
    ret = 1
    for i in range(2,num+1):
        ret *= i
    return ret

Answer 1

您的Disconnected公式实际上不正确。

让我们标记顶点1,2，...，N。在公式中，术语：

[（连接（i，K）*（从所有N个顶点中选择i顶点的方式数）]

应该计算图形的数量，使得顶点1的连通分量包含i个顶点。但该产品仅提供可能连接组件的数量。对于每个这样的连通分量选择，仍然有很多方法可以在其余（N - i）个顶点之间排列边缘。

为了获得正确的公式，您还应考虑连通组件中的边数。

设Conn（i，j）是连接图的数量，其中i标记了顶点并且恰好是j个边。然后我们有：

选择（N *（N-1）/ 2，K）= sum（i = 1到N，j = 0到K）选择（N-1，i-1）* Conn（i，j）*选择（（N - i）*（N - i - 1）/ 2，K - j）

左侧是具有N个顶点和K个边的图的总数。右侧的加数是具有N个顶点，K个边缘的图形的数量，并且顶点1的连通分量具有i个顶点和j个边缘。

对于加数的进一步说明：首先从除顶点1之外的N-1个顶点中选择i-1个顶点，然后乘以形成具有i个顶点和j个边的连通图的方式的数量，最后添加来自剩余N - i个顶点的任何K - j边。

根据这个公式，您应该能够编写DP算法来计算所有数字Conn（i，j）。

虽然这可能很慢，但它会为您提供正确的答案。您可以稍后考虑更好的算法。

计算连通图

1 个答案: