Mathematica：“Sqrt [x]的15位数产生x超过42亿的数字”

Question

我在Mathematica中做了这个来计算Sqrt [5]：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 

[25]与Sqrt [5]有多接近？

N[Sqrt[5]-a[25]] // FortranForm 
4.440892098500626e-16 

[25] ^ 2到5有多接近？

N[a[25]^2-5] // FortranForm 
8.305767102358763e-42074769 

这对我来说似乎很奇怪。我估计：如果x在Sqrt [5]的10 ^ -n之内， 然后x ^ 2在10 ^（ - 2 * n）之内，给出或取。没有？事实上：

a[25]^2 = (Sqrt[5]-4.440892098500626e-16)^2 ~ 5 - 2*5*4.440892098500626e-16 

（扩展（a-b）^ 2），因此精度应该只有大约14位数 （或一般n位数）。

当然，牛顿的方法在25中只能产生15位准确数字 迭代也似乎很奇怪。

我在上面的计算中过早地失去了精度吗？请注意：

N[Log[Sqrt[5]-a[25]]] // FortranForm 
-35.35050620855721 

同意上面的15位精度，即使我在之后做N [] 记录日志（所以它应该是准确的）。

Answer 1

问题是Mma如何计算你的序列。

a [n]是有理数。让我们以loglog标度查看分子的数量级：

a[0] = 2 
a[n_] := a[n] = a[n-1] - (a[n-1]^2-5)/2/a[n-1] 
ListPlot@Table[Log[10, Log[10, Numerator[ a[i]]]], {i, 1, 25}]

所以，你的分子正以双指数的形式增加。

在[25]之前实现了10 ^ -16精度：

For[i = 1, i < 5, i++,
 Print["dif[", i, "]= ", N[a[i] - Sqrt[5], 16]]
 ]

dif[1]= 0.01393202250021030

dif[2]= 0.00004313361132141470

dif[3]= 4.160143063513508*10^-10

dif[4]= 3.869915959583412*10^-20  

之后，您已开始控制除法的精度，因为[5]的分子已有20位数。