如何获得Sqrt [3x + 1] + Sqrt [3y + 1] + Sqrt [3z + 1]的最小值？

Question

让

f[x_,y_,z_] := Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]

我希望使用mathematica获得x＆gt; = 0＆amp;＆amp; y＆gt; = 0＆amp;＆amp; z＆gt; = 0＆amp;＆amp; x + y + z == 1的f的最小值。

PS：我确实知道如何通过数学方法得到最小值：

Since 0<=x<=1,0<=y<=1,0<=z<=1, we have
0<=x^2<=x,0<=y^2<=y,0<=z^2<=z.
Hence,
3a+1 >= a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2, where a in {x,y,z}.
Consequently,
f[x,y,z] >= x+1+y+1+z+1 = 4,
Where the equality holds if and only if (x==0&&y==0||z==1)||...

PS2：我希望以下代码能够正常运行，但事实并非如此。

Minimize[{f[x,y,z],x>=0&&y>=0&&z>=0&&x+y+z==1},{x,y,z}]

实际上，正如西蒙指出的那样，它有效......运行时间比我预期的要长，我在Mahtematica向我展示结果之前关闭了它。

Answer 1

这是你想要的吗？

In[1]:= f[x_,y_,z_]:=Sqrt[3x+1]+Sqrt[3y+1]+Sqrt[3z+1]
In[2]:= Minimize[{f[x,y,z],x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z==1},{x,y,z}]
Out[2]= {4,{x->1,y->0,z->0}}

请注意，文档说“即使在几个点达到相同的最小值，也只返回一个”，因此您必须自己强加问题的排列对称性。

---

PS 您可以将其转换为拉格朗日乘数问题

In[3]:= Thread[D[f[x,y,z] - \[Lambda](x+y+z-1), {{x,y,z,\[Lambda]}}]==0];
        Reduce[Join[%,{x>=0,y>=0,z>=0}],{x,y,z,\[Lambda]},Reals]
        {f[x,y,z],D[f[x, y, z], {{x, y, z}, 2}]}/.ToRules[%]
Out[4]= x==1/3&&y==1/3&&z==1/3&&\[Lambda]==3/(2 Sqrt[2])
Out[5]= {3 Sqrt[2],{{-(9/(8 Sqrt[2])),0,0},{0,-(9/(8 Sqrt[2])),0},{0,0,-(9/(8 Sqrt[2]))}}}

并且看到唯一的静止点是x = y = z = 1/3处的最大值。因此，最小值必须位于边界上。然后，您可以使用类似的代码但限制在边界以最终找到正确的结果。

Answer 2

只是为了好玩，这是西蒙给出的解决方案的情节：

f[x_, y_, z_] := Sqrt[3 x + 1] + Sqrt[3 y + 1] + Sqrt[3 z + 1]
g1 = ContourPlot3D[f[x, y, z] == 4, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#3 &}, ContourStyle -> {Blue, Opacity[0.5]}];
g2 = ContourPlot3D[ x + y + z == 1, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, AxesLabel -> {x,y,z}, MeshFunctions -> {#2 &}, ContourStyle -> {Green, Opacity[0.5]}];
Show[g1, g2, Graphics3D[{PointSize[0.05], Red, Point[{1, 0, 0}]}], ViewPoint -> {1.1`, -2.4`, 1.7`}]

Answer 3

你说你对“数学方法”不感兴趣（当你这么说时我不清楚你的想法，但它让我想到拉格朗日乘数的最小化方法）。如果这是正确的，为什么要将Mathematica带入讨论？你觉得它会用什么？

我必须假设你的意思是数字，计算机解决方案。我将从线性编程和单纯形法开始。