三次图的动态递减连通性

Question

假设我有一个完全连接的无向图（节点和边），它受到所有节点代表3D空间坐标这一事实的约束，如果节点代表相邻的立方体，则节点只能在图中相邻，即（1,0 ，8）可以与（0,0,8）或（2,0,8）或（1,0,9）相邻。

现在假设我动态地从图中删除节点。我想要一个算法，让我知道，在每次删除时，图形连接是否已被破坏＆amp;如果是这样，连接的组件是什么。有没有办法优化图形的空间性质，或者我注定要使用标准的图形处理算法？

我想我需要某种算法，当节点从图中删除时，动态维护图中节点的连接关系。到目前为止，我设法找到的是A *，跳跃点搜索和最短路径算法，我还在这里使用了算法：https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_connectivity#Decremental_connectivity。

注意：我的图表肯定是循环的。

Answer 1

好的，所以在考虑了这个之后，我能想出的最佳答案仍然没有利用图的空间约束，但我相信它以摊销成本O（log（n）运行。这是一个草图这个想法：

首先，我们计算图形的任意生成树，从任何节点开始并为树选择任意边。理想情况下，我们希望尽可能保持平衡，即最小化深度。

然后，在每次删除时，我们按如下方式更新生成树：

• 如果删除的边缘不在生成树中，则不执行任何操作
• 否则，这是已删除的父子关系，我们注意到子节点
• 对于这个子节点的所有子节点，我们暂时标记它们，即我们在每个节点上设置一些标记，将其标记为可能从主树中断开的受影响树的一部分

现在我们从子节点开始运行这个递归算法。假设该算法当前正在处理节点n：

• 如果图表中有n的边缘到图表中的未标记的节点，请使用此边缘更新生成树并返回“true”
• 对于节点的每个子节点，我们运行递归算法并按以下步骤进行操作
• 如果算法为任何子节点返回false，则图形被破坏，即断开连接
• 否则我们可以选择任何节点并在此节点指向我们的节点n并自己返回“true”

如果我们实际上维护了两个单独的生成树，我们可以在后台处理边缘删除并在使用一棵树或另一棵树之间切换，以提高其在实时程序中的使用效率，例如：一场比赛。