最大加权段覆盖算法

Question

这是我想到的一个算法问题，但我自己也无法想到一个简单的解决方案。

这个问题的灵感来自两个着名的问题：最小分段覆盖率和背包问题，描述如下：

给定n个细分[l_i, r_i]，所有l_i, r_i in [1,M]。 n, M已知。

每个细分都有一个值v_i，如果您可以选择任意数量的非重叠细分，您可以获得的最大总价值是多少？ （感觉还可以）

我有一种强烈的感觉，我的想法过于复杂 但现在我头脑中的解决方案是使用动态编程，就像我们解决背包一样。

1. 按r_i按升序对细分进行排序
2. 定义DP(i) := maximum value we can get using segment [0,i]，此处索引是步骤1之后的排序索引
3. DP(i) = max(DP(j) + v[i], DP(i-1))其中j is the largest index where r_j <= l_i, which can be found using binary search

我认为此解决方案属于O(N lg N)。现在我的问题是：

1. 此解决方案是否正确？
2. 是否有更简单，性能更好的解决方案？

Answer 1

细分覆盖范围可以用名为interval graph的图表来表示。由于您不想采用两个重叠的段，因此您需要在区间图中查找最大加权独立集。这个问题在一般图上是NP难的，但幸运的是它可以很容易地在区间图上求解。如果查看GraphClasses website，您可以看到问题在线性时间内是可解的，即使对于和弦图（它是一个比区间图更大的类），您也可以参考{{3}证明了这一点。