最大覆盖变量的启发式算法

Question

我有以下问题： 有N组。每组都是集合的集合。 目标是从N组中的每一组中精确选择一组，以便最大化作为所有选择的并集的组的大小。 每组中的集合数量不一定相同，但是受限于某个数字，M。

例如，

1. {6, 7, 8}, {10} 
2. {6,7}, {8,9} 
3. {10}, {1,2}, {99}

实际答案为6，因为您可以从1中选择{6,7,8}，从2中选择{8,9}，从3中选择{1,2}，从而建立联盟{1,2,6,7,8,9}其大小为6。

在我的特定域中，问题结构始终遵循以下规则： N在1到2000之间变化。集合中的数字从1到50.单个集合的最大大小为5，给定集合中任意两个数字之间的绝对差值不能超过2（一个集合可以包含{{1 }，j，j+1，j-1或j+2）。

我不认为我可以非常快速地解决这些问题。所以我提出了以下启发式方法：

1. 大小的上限取决于每组中每组的并集大小（上例中为8）
2. 大小的上限取决于每组中最大集合的大小之和。 （上面的例子会给出7）
3. 大小由min（heuristic1，heuristic2）
限制

我不认为有一种有效的算法来准确计算大小（虽然我很乐意被证明是错误的）。但是，如果任何人都可以看到一个可以提供更严格约束的启发式（并且计算效率更高），那就太棒了。

编辑：对于我的特定用例，我只对上限感兴趣。我需要能够肯定地说，大小不超过一个特定的数字，否则启发式对我来说是无用的。

Answer 1

可以利用的组和集之间是否存在任何关系？

如果没有，那么一个简单的贪婪算法如何以空集开始，然后为每个组添加具有最多元素的集合，而不是当前解决方案：

1. 设 T = {∅}，N = 1
2. 选择集 S _k ∈{ S ₁ ，...， S N 中的em> _M }，使 S _k = max _我（| S _i \ T |）
3. 让 T = T ∪ S _k
4. 如果最后一组退出，则N = N + 1，然后转到步骤2.

答案显然取决于几个问题：

• 初始组
• 处理组的顺序
• max 不唯一时选择 S _k

要缓解这些问题，您可以跟踪多个解决方案 T 。例如，在每个步骤中保留前2或3个解决方案。然后在退出时保留最大的解决方案。