完全图的最大加权配对算法

Question

数学问题

让 2n 人，C(i,j)＆＃34;费用＆＃34;让 i 和 j 一起工作（函数C可以快速计算，在我的例子中它是一个给定的矩阵，并且是对称的）。问题是要找到 2n 对的安排，以最小化每对成本的总和。

这应该在 n 的多项式复杂度中完成，并且在Scilab语言中相对容易实现（输入：成本矩阵，输出：配对，例如 n - by-2矩阵索引）。我知道＆＃34;相对容易＆＃34;受到解释......

以前的研究

这个问题实际上是由Blossom算法解决的。例如，请参阅this paper。

然而，这个（及其变体）看起来像是一个噩梦。我真正的问题是 n = 20 ，所以虽然暴力（=尝试所有可能的配对）不正常（暴力强迫 n = 8 在我的电脑上花了一个小时），几乎任何比蛮力更好的东西应该可以做到;如果我可以避免一周的编码而花费一小时的计算费用。

我正在考虑在{em> 2n -by- 2n 数组上使用Hungarian/Munkres algorithm来填充对角线+%inf和其他通过对称成本矩阵的元素，然后以某种方式从结果排列中选择相关的配对，但我找不到可靠的方法来做到这一点。 （注意，匈牙利语算法已经编码为一个单独的部分，因此您可以免费使用它，并且很容易实现＆＃34;要求。）

我希望与开花算法问题相比，图表的完整性允许一些快捷方式...... （编辑：参见下面的DE评论，这是由于半明显的原因，这是错误的）

Answer 1

我不知道Scilab我很害怕，但如果您愿意使用Python，那么Networkx library提供对此功能的支持非常容易：

import networkx as nx
import networkx.algorithms.matching as matching

def C(i,j):
    return i*j

n=40
G=nx.Graph()
for i in range(n):
    for j in range(n):
        G.add_edge(i,j,weight = -C(i,j))
M = matching.max_weight_matching(G,maxcardinality=True)
for i in M:
    print i,'with',M[i]

此代码会在一秒钟内打印出答案。

函数C定义了使用j配对i的成本。请注意，权重设置为-C（i，j），以便将max_weight_matching转换为min_weight_matching算法。