似乎很难找出这个简单程序的时间复杂性

Question

我有下面的代码来模仿算法的递归行为，因为我没有弄清楚该算法的时间复杂度：

int M(int n)
{
    int result = 1;
    for (int i = n-1; i >= 0; --i)
    {
        result += M(i);
    }
    return result;
}

根据我的理解，我绘制了下面的树来说明算法：

（图中输入n为3）。 我认为树中节点的数量是算法的复杂性。如果输入为n，那么时间复杂度会是多少？谢谢！

Answer 1

我的背景不是CS，但我可以为您提供一个简单的方法来查看此问题，

所以我拿了一张纸和笔，开始使用不同的n值。

n = 2, cycles = 4
n = 3, cycles = 8
n = 4, cycles = 16
n = 5, cycles = 32.

你可以清楚地看到周期= 2 ^ N，因此我们可以得出结论，这个问题的时间复杂度是O（2 ^ N）。

现在以另一种方式看待这个可能是

我们知道

f(0) = 1
f(1) = f(0) + 1 = 2
f(2) = f(1) + f(0) + 1 = 4
...
f(N) = f(N-1) + f(N-2) .. + f(0) + 1 = 2^N.

现在你有一个类似于计算阶乘的递归关系，你可以做数学或创建一个程序来测量问题的时间复杂度。

希望我的回答可以帮助您理解计算时间复杂度的理论。

Answer 2

你的树形图很有启发性。你能看到对称线吗？ M（n）的树看起来像M（n-1）的树的两个副本。因此，树中节点的数量是2 ** n，并且算法的复杂度为O（2 ** n）。

Answer 3

我已附上一张您可以查看的图片。