Question

我有一个由对象空间中心点和半径表示的球体。球体被转换为世界空间，其变换矩阵可以包括尺度，旋转和平移。我需要在世界空间中为球体构建一个轴对齐的边界框，但我不知道该怎么做。

这是我当前的方法，适用于某些情况：

public void computeBoundingBox() {
    // center is the middle of the sphere
    // averagePosition is the middle of the AABB
    // getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);

    Point3 onSphere = new Point3(center);
    onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);

    // but how do you know that the transformed radius is uniform?
    double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);

    // maxBound is the upper limit of the AABB
    maxBound.set(averagePosition);
    maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));

    // minBound is the lower limit of the AABB
    minBound.set(averagePosition);
    minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}

但是，我怀疑这一切都会奏效。它不应该因为非均匀缩放而失败吗？

Answer 1

通常，变换后的球体将是某种椭圆体。得到一个精确的边界框并不难;如果你不想通过所有的数学运算：

请注意M是您的转换矩阵（比例，旋转，翻译等）
阅读以下S
计算R，如末尾所述
根据x计算y，z和R界限，如上所述。

一般圆锥曲线（包括球体及其变换）可以表示为对称的4x4矩阵：当p时，同构点S位于圆锥p^t S p < 0内。通过矩阵M转换空间M转换S矩阵如下（下面的约定是点是列向量）：

A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1  0  0  0 ]
    [ 0  1  0  0 ]
    [ 0  0  1  0 ]
    [ 0  0  0 -1 ]

point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
  = p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
  = (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)

transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is:  (M^-1^t S M^-1)

圆锥的对偶，适用于平面而不是点，用S的倒数表示;对于平面q（表示为行向量）：

plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
  = q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
  = (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t

transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is:  (M S^-1 M^t)

因此，您正在寻找与变换后的圆锥相切的轴对齐平面：

let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ]  (note that R is symmetric: R=R^t)
                       [ r12 r22 r23 r24 ]
                       [ r13 r23 r33 r34 ]
                       [ r14 r24 r34 r44 ]

axis-aligned planes are:
  xy planes:  [ 0 0 1 -z ]
  xz planes:  [ 0 1 0 -y ]
  yz planes:  [ 1 0 0 -x ]

找到与R相对应的xy对齐平面：

  [0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
               [ 0 ]
               [ 1 ]
               [-z ]

  so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
        = (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44

同样，对于xz对齐的平面：

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

和yz-aligned plane：

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

这为您提供了转换球体的精确边界框。

Answer 2

@comingstorm的答案很优雅，因为它使用了圆锥的齐次坐标和对偶性。

该问题也可以看作是约束最大问题，可以通过拉格朗日乘数法来解决。以y轴的AABB为例。优化目标是

约束是椭球方程

拉格朗日是

其中lambda是乘数。极值只是以下方程的解

给出

Answer 3

这不适用于非均匀缩放。用拉格朗日乘子（KKT定理）计算任意可逆仿射变换是可能的，我相信它会变得丑陋。

然而 - 你确定你需要一个确切的AABB吗？您可以通过变换球体的原始AABB并获得其AABB来近似它。它比确切的AABB大，因此它可能适合您的应用。

为此，我们需要有三个伪函数：

GetAABB(sphere)将获得球体的AABB。

GetAABB(points-list)将获得给定点集的AABB（仅对所有点的最小/最大坐标）。

GetAABBCorners(p, q)将获得AABB的所有8个角点（p和q都在其中）。

(p, q) = GetAABB(sphere);
V = GetAABBCorners(p, q);
for i = 1 to 8 do
    V[i] = Transform(T, V[i]);
(p, q) = GetAABB(V);

Answer 4

@ comingstorm的答案很棒，但可以简化很多。如果M是球体的变换矩阵，则从1开始索引，然后

x = M[1,4] +/- sqrt(M[1,1]^2 + M[1,2]^2 + M[1,3]^2)
y = M[2,4] +/- sqrt(M[2,1]^2 + M[2,2]^2 + M[2,3]^2)
z = M[3,4] +/- sqrt(M[3,1]^2 + M[3,2]^2 + M[3,3]^2)

（这假设球体在变换之前具有半径1且其中心位于原点。）

我写了一篇带有证明here的博文，这对于合理的Stack Overflow答案来说太长了。

计算变换球体的AABB

4 个答案: