溶液（使用双圆锥矩阵）

Question

我希望计算应用了转换矩阵的2D椭圆的轴对齐边界框（AABB）（旋转，缩放，平移等）

与此解决方案类似的内容：Calculating an AABB for a transformed sphere

到目前为止，它似乎不适用于2D省略号。

这是我得到的（伪代码）：

Matrix M; // Transformation matrix (already existing)
Matrix C = new Matrix( // Conic matrix
    radiusX, 0,         0,
    0,       radiusY,   0,
    0,       0,         -1
);

Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();

Matrix R = M*CI*MT;

int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;

// maxX etc...
// Build AABB Rectangle out of min & max...

当前行为的简单演示

radiusX = 2    
radiusY = 2                              // To keep it simple, M is identity
                                         // (no transformation on the ellipse)
M = /1 0 0\                              // /M11 M21 M31\ 
    |0 1 0|                              // |M12 M22 M32| Transform matrix format
    \0 0 1/                              // \0   0   1  /

C = /2 0  0\                             // C as conic
    |0 2  0|
    \0 0 -1/

CI =/0.5 0   0\                          // CI as dual conic
    |0   0.5 0|
    \0   0  -1/

R = /1 0 0\ * /0.5 0   0\ * /1 0 0\      // R = M*CI*MT
    |0 1 0|   |0   0.5 0|   |0 1 0|
    \0 0 1/   \0   0  -1/   \0 0 1/

  = /0.5 0   0\                          // /R11 R12 R13\
    |0   0.5 0|                          // |R12 R22 R23| (R is symmetric)
    \0   0  -1/                          // \R13 R23 R33/

minX = (0 + sqrt(0^2 - (0.5 * -1))) / -1

     = -0.7071                           // Should be -2

                                         // Also, using R = MIT*C*MI
                                         // leads to -1.4142

溶液（使用双圆锥矩阵）

Matrix M;
Matrix C = new Matrix(
    1/radiusX^2, 0,           0,
    0,           1/radiusY^2, 0,
    0,           0,           -1
);
Matrix MT = M.transpose();
Matrix CI = C.inverse();
Matrix R = M*CI*MT;

int minX = (R13 + sqrt(R13^2 - (R11 * R33))) / R33;
int minY = (R23 + sqrt(R23^2 - (R22 * R33))) / R33;

最终解决方案（不直接使用圆锥基质）

这是一个简化版本。

Matrix M;

int xOffset = sqrt((M11^2 * radiusX^2) + (M21^2 * radiusY^2));
int yOffset = sqrt((M12^2 * radiusX^2) + (M22^2 * radiusY^2));

int centerX = (M11 * ellipse.x + M21 * ellipse.y) + M31; // Transform center of 
int centerY = (M12 * ellipse.x + M22 * ellipse.y) + M32; // ellipse using M
                                                         // Most probably, ellipse.x = 0 for you, but my implementation has an actual (x,y) AND a translation
int xMin = centerX - xOffset;
int xMax = centerX + xOffset;

int yMin = centerY - yOffset;
int yMax = centerY + yOffset;

Answer 1

来自双圆锥

因此，您声明M是转换矩阵。但它改变了什么，是点还是线？我假设积分。如何将点表示为行向量，使得点位于左侧，矩阵位于右侧，或者作为列向量，以便矩阵位于左侧，而右侧的点位于乘法的位置？我假设列向量。因此，对于某些点p' = M*p，转换将为p。

接下来是C。你写它的方式，这是一个椭圆，但不是你正在使用的半径。如果椭圆满足(x/radiusX)^2 + (y/radiusY)^2 = 1，则该点位于椭圆上，因此主对角线上的值必须为(1/radiusX^2, 1/radiusY^2, -1)。在我的回答的前一次修改中，我一再错过了这个错误。

接下来，您将结合这些内容。假设CP是原始圆锥曲线，即圆锥曲线作为一组点。然后你可以通过MT.inverse()*CP*M.inverse()获得转换后的版本。原因是因为您将M.inverse()应用于每个点，然后检查它是否位于原始的圆锥曲线上。但是您没有使用M.inverse()，而是使用M。这表明您尝试转换双圆锥曲线。如果M转换点数，那么MT.inverse()会转换行，因此如果M*CD*MT是双重圆锥曲线，则CD是正确的转换。

如果R是双重圆锥曲线，那么你的公式是正确的。因此，代码的主要问题可能是您忘记在矩阵C中使用反半径。

来自原始圆锥曲线

当我第一次阅读你的帖子时，我假设R会描述一组点，即如果(x,y)，点(x,y,1)*R*(x,y,1).transpose()=0位于该椭圆上。基于此，我确实为AABB提出了不使用双锥体的公式。我并不是说这更简单，特别是如果你有矩阵反转可用作构建块。但我仍然会留在这里供参考。请注意，此段落中的R与您的代码示例中使用的版本不同。

对于我的方法，请考虑R*(1,0,0)（这只是R的第一列）是一些向量(a,b,c)，您可以将其解释为行{{1}的定义}。 Intersect that line with the conic你可以获得切线水平的点，这是ax+by+c=0方向的极值。对y（即seond列）执行相同的操作，以便在R*(0,1,0)方向找到极值。

这里的关键思想是x计算某个点R*p的极线，因此我们在p resp中构建无限远点的极线。 {{1个方向。通过x的切线接触圆锥体的那些点，该极线将与圆锥相交，在这种情况下，圆锥体将是水平的。垂直切线，因为平行线在无穷远处相交。

如果我象征性地进行上述计算，我得到以下公式：

这些表达式当然可以简化，但它应该让你开始。如果您将此重新编写为更简单，更易于阅读或其他任何内容，请随时编辑此帖子。

计算变换椭圆的AABB

溶液（使用双圆锥矩阵）

最终解决方案（不直接使用圆锥基质）

1 个答案:

来自双圆锥

来自原始圆锥曲线