Question

这是我的递归函数：

function abc(n):
    if n == 0 
    return xyz(n)

    for i = 1 to n 
        print(xyz(n))

return abc(n/2) + abc(n/2)

和xyz（）是Θ（n ^ 3）。 Master定理在这里是否有效？如果，是的，我将如何写它？

Answer 1

主定理涉及这种形式的递归关系：

T（n）= a * T（n / b）+ f（n）

T是递归过程，a我们将输入n，n/b分成每个子问题的大小和`f（n）的子问题的数量将输入划分为子问题的成本以及结果的组合。

如果n == 0则n/b变为0，a也变为0。这给我们留下了：

T（0）= 0 + f（0）

由于不再有递归，它基本上归结为f(0)。在您的假设情况下，这具有复杂度Θ（n ^ 3）。

由于f(n)是将n划分为a子问题以及结果组合的成本，f(0)通常会有0或常数的成本。如果函数f(n)的复杂度为Θ（n ^ 3），那么实际上对于n == 0，这仍然会导致输入大小为0的成本。

主定理提供有关T(n)的渐近界限的信息，具体取决于f(n)，a和b的复杂程度。这取决于f(n)的复杂性如何使用logb(a)（使用a的基数b的日志）表示。 0的对数未定义，b> 0

归结起来，询问主定理是否适用于某些特定输入是没有意义的。此外，无论如何，主定理仍然存在，它只是声明，根据f(n)，您可以对T的复杂性做出一些声明。这取决于a和b，因此如果没有这些信息，则无需提问。如果您的f(n)在基本情况之外也有O（n ^ 3）（n> 0），那么您可以根据3与a和{{1 }}。例如，如果b你确定T是Θ（n ^（logb（a））。

假设算法中的3 < logb(a)为a，那么主定理就不再用于说明T的复杂性了。

修改

编辑完问题后，递归过程的形式就变成了这样：

T（n）= 2 * T（n / 2）+ f（n）

所以2^n和a == 2是你的情况下的参数，因为你将输入分成两个子问题，每个子问题得到的输入是递归的输入的一半。两个递归调用的组合是常量（一个简单的加法b == 2），问题的划分也是微不足道的，但是在你的情况下这个部分可以模拟一个Θ（n ^ 4）算法，用于将输入分成子问题：

abc(n/2) + abc(n/2)

注意它是Θ（n ^ 4），因为你说for i = 1 to n print(xyz(n))是Θ（n ^ 3）并且你在循环中重复n次。那么你的xyz(n)。

主定理无法真正说明这一点。但是，如果f(n) = ϴ(n^4)（请注意这里的欧米茄），那么f(n) = Ω(n^4)（logb（a），其中b = 2，a = 2）。为了说明T的复杂性，现在必须要有另一个条件，规律性条件。它指出4 > log2(2)对于某些k <{1}}必须为真。 1和足够大的n。

这样就给了我们a * f(n/b) <= k * f(n)。对于k <0，这是正确的。 1/8。最后，我们要说明2 * f(n/2) <= k * f(n)， T = ϴ(f(n)) 。

如果你的f（n）（带有xyz调用的循环）可以被证明是Ω（n ^ 4）（再次注意omega而不是theta），则意味着最终部分为真。由于欧米茄是下限，而你的f（n）=Θ（n ^ 4），这应该是真的。

如果基本情况不是在常量运行时运行但是在多项式运行时，主定理是否适用？

1 个答案: