求解第三个变量

Question

我试图为变量h求解以下等式：

• F是正常的累积分布函数
• f是卡方分布的概率密度函数。

我想用Matlab以数字方式解决它。

首先我尝试solve the problem with a simpler version of function F and f。

然后，我尝试解决以下问题：

n = 3;    % n0 in the equation
k = 2;    
P = 0.99; % P* in the equation
F = @(x,y,h) normcdf(h./sqrt((n-1)*(1./x+1./y)));
g1 = @(y,h)integral(@(x) F(x,y,h).*chi2pdf(x,n),0,Inf, 'ArrayValued', true);
g2 = @(h) integral(@(y) (g1(y,h).^(k-1)).*chi2pdf(y,n),0,Inf)-P;
bsolve = fzero(g2,0) 

我得到了5.1496的答案。问题是这个答案似乎不对。

有一篇论文提供了通过求解上述等式得到的h值表。本文发表于1984年，当时计算机功率不足以快速解决方程。他们用各种价值解决了这个问题：

• n0 = 3:20，30:10:50
• k = 2:10
• P * = 0.9，0.95和0.99

它们在每种情况下都提供h的值。

现在我试图解决这个等式并得到具有不同n0，k和P *值的h值（例如n0 = 25，k = 12和P * = 0.975），其中不提供h的值。

上面的Matlab代码给出了不同于纸张的h值。 例如：

• n0 = 3，k = 2且P * = 0.99：我的代码给出h = 5.1496，论文给出h = 10.276。
• n0 = 10，k = 4且P * = 0.9：我的代码给出h = 2.7262，论文给出h = 2.912。

作者说

  

使用32点Gaus​​s-Laguerre数值求积法评估积分。这是通过在IBM子程序QA32中提供的适当的32个y值评估内部积分来实现的。还使用32点Gaus​​s-Laguerre数值求积来评估内积分。内积分的32个值中的每一个都被提高到k-1次幂并乘以适当的常数。

Matlab似乎使用相同的求积法：

  

q = integral（fun，xmin，xmax）使用全局自适应求积法和默认误差容差，从xmin到xmax数值积分函数。

有没有人知道哪些结果是正确的？要么我在代码中犯了一些错误，要么论文可能是错的 - 可能是因为作者在估计积分时只使用了32个值？

Answer 1

这确实有效，但是卡方分布具有（n-1）个自由度，而不是所发布代码中的n。如果这是固定的，那么里诺特的常数值与文献一致。或至少，没有背后的文献。不能和1984年的Wilcox说话。