如何参数化作为高斯导数的曲线

Question

在下面的高斯方程中，我可以指定高度（a），宽度（c）和中心（b）。

f(x) = a*e^[-(x-b)^2 / (2c^2)]

高斯的导数采用以下形式：

我想要做的是提出一个方程式，我可以指定曲线的高度，宽度和中心，如高斯导数。

上面的高斯方程的导数是：

d = (a*(-x).*exp(-((-x).^2)/(2*c^2)))/(c^2);

一阶Hermite函数采用类似的形式。

d = (((pi)^(-1/4)*exp(-0.5*(x.^2))).*x)*sqrt(2);

我的目标是建立一个采用这种通用形式的方程式，并允许我指定高度，宽度和中心。

Answer 1

您需要对Gaussian的导数表达式进行两处更改：

• 分化可以保持身高和位置的变化。唯一的问题是，在导数的表达式中，您缺少参数b。您应将x替换为x-b 。

• 对于宽度的变化，由于原始高斯函数具有区域1，因此较高的c会产生更多的宽度，但也会产生更少的高度。为了弥补这一点，乘以c ，以便c中的更改不会影响身高。

因此，参数化函数是

d = c*(a*(-x+b).*exp(-((-x+b).^2)/(2*c^2)))/(c^2);

示例：

figure
hold on
grid
x = -20:.1:20;

a = 1; b = 2; c = 3; % initial values
d = c*(a*(-x+b).*exp(-((-x+b).^2)/(2*c^2)))/(c^2);
plot(x, d, 'linewidth', 1) % blue

a = 2; b = 2; c = 3; % change height
d = c*(a*(-x+b).*exp(-((-x+b).^2)/(2*c^2)))/(c^2);
plot(x, d, 'linewidth', 1) % red

a = 1; b = 7; c = 3; % change center
d = c*(a*(-x+b).*exp(-((-x+b).^2)/(2*c^2)))/(c^2);
plot(x, d, 'linewidth', 1) % yellow

a = 1; b = 2; c = 5; % change width
d = c*(a*(-x+b).*exp(-((-x+b).^2)/(2*c^2)))/(c^2);
plot(x, d, 'linewidth', 1) % purple