如何在O（nh）和O（nlog（h））复杂度中找到Pareto最优点？

Question

任何人都可以建议找到帕累托最优点（形成楼梯）的算法，正如O(n*h)和O(n*log(h))时间复杂度中的图表所示，其中h是帕累托最优点？

我使用礼品包装算法来解决这个问题（在O(n*h)中），但它只找到了凸包类型的阶梯，并错过了那些形成凹角的点。

Answer 1

将建议放在一个地方。

想法是使用分而治之的策略。如果我们能找到帕累托点P，它将剩余的帕累托点分成O（n）中的一半，而不是O（n log（h））。这可以通过在P的右边，P的左边和上边，P的左边和下边三个部分中分割点来检查。第三组没有帕累托点。并且在其他两组点上递归地执行相同的过程。将比例设置为三个部分：a, b, 1 - a - b。这种复杂性是：

T(n, h) = T(a*n, h/2) + T(b*n, h/2) + O(n)
       <= T(n, h/2) + O(n)
       <= T(n, h/4) + 2 * O(n)
       <= T(n, h/8) + 3 * O(n)
       <= ...
       <= O(n log(h))

问题是在＆lt; = O（n）中找到具有该特征的帕累托点。一些简单的启发式方法，如P，其中x> =（min（x）+ max（x））/ 2，可能会得到非常好的平均值。

我不确定，但我认为可以使用k-th order statistic找到具有该特征的点。与finding median as pivot in quicksort类似。