枚举和索引n个顶点的所有可能树

Question

我们一直在尝试找到一种方法来枚举和索引所有可能具有n个标记顶点的树。根据Cayley定理， n 标记顶点的树的 n ^{n -2} 数量。在C / C ++中，有没有办法索引所有可能的树，这样当用户输入整数/数字时，会实时生成一个唯一的树？

Answer 1

快速浏览维基百科关于Cayley's formula的文章（你提到的 n ^{n -2} 公式）向我指出Prüfer序列，是由（可能重复的）节点标签组成的长度 n -2的序列。很明显， n ^{n -2} 这样的序列，每个序列都可以表示为 n - 2位数字 n 号码。不太明显的是，每个Prüfer序列对应一个带有 n 标记节点的唯一树，但这个事实足以证明Cayley的公式。

关于Prüfer序列的维基百科文章解释了如何转向a sequence into its corresponding tree;这相当于将整数转换为树。

我没有尝试过这些，但它看起来很有说服力。

Answer 2

我不熟悉C或C ++，但我认为我可以提供这样的理论，即列举每棵树都不应该太难。评论我是否需要澄清任何内容。

想想二元。

采用邻接矩阵。为了描述一个顶点是否连接到另一个顶点，我们使用1或0.因此，为了使用邻接矩阵找到所有图形，我们将填充具有1和0的所有组合的矩阵。唯一的约束是对于树，a节点不能是自己的父节点，也不能有多个父节点。有三个顶点的示例：

0 1 1  0 1 1  0 0 1
1 0 0  0 0 0  1 0 0
0 0 0  1 0 0  0 1 0 etc.

我们可以做的是将行并排放置，使得二进制序列描述每个矩阵。例如：

0 1 1 1 0 0 0 0 0  0 1 1 0 0 0 1 0 0  0 0 1 1 0 0 0 1 0 etc.

因此，给定9位，我们可以描述具有三个顶点的所有图形。这转化为每个数字1-2 ^ 9的一棵树，减去彼此旋转的数字。

要将数字转换为树，只需将数字转换为二进制，然后将二进制数转换为矩阵。为每个＆＃34; 1＆＃34;修复自我连接。在对角线上或越过对角线，将其进一步移动。那么：

1 0 0         1 0 1 
0 1 0    ->   0 0 0
0 0 1         0 1 0