PSD（正半定）矩阵的平方根的逆

Question

假设我有一个正半正定矩阵S，我希望得到该矩阵的平方根的倒数，即S^(-1/2)。

我可以这样做吗？

ei <- eigen(S)
V <- ei$vectors
res <- V %*% diag(1 / sqrt(ei$values)) %*% t(V)

res是否等于S^(-1/2)？

我只对inverse of square root的特征值S，这是正确的吗？

我知道：如果有人想要S^(1/2)，那么res <- V %*% diag(sqrt(ei$values)) %*% t(V)，res = S^(1/2)。

S^(-1/2)怎么样？

感谢。

Answer 1

是。我们可以很容易地得到一个例子S并检查S次res时间res是单位矩阵：

set.seed(123)
S <- crossprod(matrix(rnorm(9), 3))

ei <- eigen(S)
V <- ei$vectors
res <- V %*% diag(1 / sqrt(ei$values)) %*% t(V)

S %*% res %*% res
##             [,1]        [,2]        [,3]
## [1,]  1.0000e+00 -2.3731e-15 -1.6653e-16
## [2,]  3.3346e-15  1.0000e+00 -6.6613e-16
## [3,] -1.0235e-16  8.3267e-16  1.0000e+00

另请注意，S和res通勤，即all.equal(S %*% res, res %*% S)为TRUE，因此最后一行代码中的3个因子可以按任何顺序写入。

Answer 2

如果根据OP的查询，输入矩阵是正半正定（并且不是正定），则其特征值不会全部为正，并且上面答案中给出的方法将失败，因为

diag(1 / sqrt(ei$values))

不是有限矩阵。