查找在O（logn）时间内仅出现一次的数组元素

Question

给定一个数组A，其中所有元素出现两次，但一个元素只出现一次。我们如何找到在O（logn）时间内只出现一次的元素？我们来讨论两个案例。

1. 数组始终排序，元素按顺序排列。假设 A = [1,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6] ，我们希望在log n时间内找到3，因为它只出现一次。
2. 当数组未排序且元素不按顺序排列时。

我只能提出在整数的二进制表示中使用XOR运算符的解决方案，如Here所述，最后，二进制字符串将表示仅出现一次的元素，因为重复将取消。但这需要O（n）时间。我们怎么能做得更好呢？

Answer 1

如果元素已排序，和元素的范围和差异已知，那么我认为与binary search不同的策略可以在 O（logN）时间。在您的问题中，第一个案例或多或少符合这些要求。

考虑数字介于[1，M]之间的情况，并且每个连续的不同值具有K的差异。然后您知道在没有唯一元素的数组中，每个索引（2i，2i + 1） ）将包括元素（1 + K i，1 + K i）。在包含唯一元素的数组中，它将是（1 + K *（k-1），1 + K * i）。使用该信息，类似于二进制搜索的搜索算法可以找出唯一元素所在的数组的一半，并在 O（logN）时间内到达它。

为了演示我上面提到的索引概念，请参阅您自己的示例。在唯一元素的左侧（即3），所有索引对（2i，2i + 1）具有相同的值。并且所有子索引从索引0开始并以索引位于唯一元素右侧结束，所有索引对（2i，2i + 1）都对应于包含不同值的单元格。

除非我在回复开始时提到的条件存在，否则你必须调查每一个元素，我相信你提出的任何算法至少需要花费O（n）时间。这就是你在问题中提到的第二种情况。

Answer 2

在一般情况下，这是不可能的，为了确保元素不重复，您需要检查每个其他元素。

从您的示例中，似乎数组可能是整数的排序序列，没有“间隙”（或其他明确定义的序列，如所有偶数等）。在这种情况下，可以使用修改的二进制搜索。

你有阵列[1,1,2,2,3,4,4,5,5,6,6]。

检查中间元素及其后面的元素并查看3和4.现在您知道集合{1,2,3}中只有5个元素，而集合中有6个元素{4,5 ，6}。这意味着，缺少的元素在{1,2,3}中。

然后你递归[1,1,2,2,3]。你看2,2。现在你知道有2个“1”元素和1个“3”元素，所以答案就是3个。

你在每一步中检查2个元素的原因是，如果你只看到“3”，你不知道你是否击中了“3,3”或第二个中的前3个。但是如果你读了2个元素，你总会发现2个不同元素之间的“边界”。

这是可行的条件是，给定元素的值，您需要能够在O（1）中计算在此元素之前有多少不同的元素。在你的情况下，这是微不足道的，但它也可以用于任何算术系列，几何系列（具有固定大小的数字）......

Answer 3

我不相信有一个O（log n）解决方案。原因是为了找到哪一个元素只出现一次，至少需要迭代该数组的元素一次。