是否存在用于确定最小可解线性方程组的算法

Question

我有一组带有W变量的N（N是非常大的）线性方程。

为了提高效率，我需要找到可解决的最小数量的线性方程（有一个独特的解决方案）。可以假设当X == Y时，包含Y变量的一组X方程具有唯一解。

例如，如果我输入以下内容：

2a = b - c
a = 0.5b
b = 2 + a

我想返回方程组：

a = 0.5b
b = 2 + a

目前，我有一个使用一些启发式的实现。我创建一个矩阵，列是变量，行是方程。我搜索矩阵以找到一组完全连接的方程，然后逐个尝试去除方程式以查看剩余的方程组是否仍然是可解的，如果它是连续的，如果不是，则返回方程组。 / p>

这是否有一个已知的算法，我是否尝试重新发明轮子？ 有没有人有关于如何更好地接近这个的意见？

感谢。

Answer 1

简短回答是“是”，有已知的算法。例如，您可以添加单个等式，然后计算矩阵的等级。然后添加下一个等式并计算等级。如果它还没有上升，那么新的等式没有任何帮助，你可以摆脱它。一旦排名==变量的数量，您就拥有了一个独特的解决方案，并且您已经完成了。有些图书馆（例如Colt，JAMA，la4j等）会为您执行此操作。

更长的答案是，这是非常难以正确完成的，特别是如果你的矩阵变大了。你最终会遇到很多数值稳定性问题，等等。我不是数值线性代数专家，但我知道如果你不小心的话，这里有龙。话虽如此，如果你的矩阵很小并且“条件良好”（行/列几乎不平行）那么你应该保持良好状态。这取决于你的申请。