最小的圆环

Question

我有一个未加权的无向连通图。通常，它是一种具有大量循环并排的化合物。这个问题在这个领域很常见，就像标题所说的那样。好的算法是Horton的算法。但是，我似乎无法逐步找到有关算法的任何确切信息。

显然我的问题是Algorithm for finding minimal cycles in a graph，但不幸的是，该网站的链接已被禁用。  我只发现了Figueras算法的python代码，但Figuearas在每种情况下都不起作用。有时它找不到所有的戒指。  问题与此类似，Find all chordless cycles in an undirected graph，我尝试了但不适用于像我这样的更复杂的图形。  我找到了4-5个所需信息来源，但算法并没有完全解释。

我似乎没有找到任何SSSR算法，尽管这似乎是一个常见的问题，主要是在化学领域。

Answer 1

霍顿的算法非常简单。我将根据您的用例对其进行描述。

1. 对于每个顶点v，计算以v为根的广度优先搜索树。对于每个边wx，使得v，w，x是成对不同的，并且使得w和x的最小公共祖先是v，添加一个循环，包括从v到w的路径，边缘wx，以及从x到v的路径。

2. 按大小非递减对这些周期进行排序，并按顺序考虑它们。如果当前周期可以表示为之前考虑的周期的“异或”，则它不是基础的一部分。

步骤2中的测试是该算法中最复杂的部分。基本上，您需要做的是将接受的周期和候选周期写为0-1关联矩阵，其行按周期索引并且其列由边缘索引，然后在此矩阵上运行高斯消除以查看是否进行全零行（如果是，则丢弃候选周期）。

通过一些努力，每次都可以节省重新消除接受周期的成本，但这是一种优化。

例如，如果我们有图表

a---b
|  /|
| / |
|/  |
c---d

然后我们有一个类似

的矩阵

      ab  ac  bc  bd  cd
abca   1   1   1   0   0
bcdb   0   0   1   1   1
abdca  1   1   0   1   1

我有点作弊，因为abdca实际上不是步骤1中生成的周期之一。

消除过程如下：

ab  ac  bc  bd  cd
 1   1   1   0   0
 0   0   1   1   1
 1   1   0   1   1

row[2] ^= row[0];

ab  ac  bc  bd  cd
 1   1   1   0   0
 0   0   1   1   1
 0   0   1   1   1

row[2] ^= row[1];

ab  ac  bc  bd  cd
 1   1   1   0   0
 0   0   1   1   1
 0   0   0   0   0

这样一组周期依赖（不要保留最后一行）。