Question

给定一组N维整数点，我如何找到N维长方体的最小集合（2-d情况下的矩形），这样整数点在整数点集合中当且仅当它包含在一个或多个长方体/矩形中。整数点表示具有整数坐标的点。

e.g。给定点（1,0），（2,0）和（3,1），（4,1），最小的矩形集是（1,0-2,0），（3,1-4,1）），见下图：

2 .....
1 ...##
0 .##..
  01234

显然我可以进行暴力搜索，但我正在寻找一种更有效的算法，即使它仍然具有很高的复杂性。

Answer 1

看起来它可以近似为O（log N）。在线查看“NP优化问题概要”，搜索“MINIMUM RECTANGLE COVER”

此外，可能仍然可以有效地解决您的特定用例。

Answer 2

有许多方法可以找到现有的点：

将点放入哈希映射中以便快速查找。对于一般情况，这可能是最好的方法，在这种情况下，如果您尝试收集它们，您将无法知道这些点将留下多少个洞。在最坏的情况下，每个点你会得到一个矩形。
如果您有一个或几个Z坐标，请收集位图中的点（1位深度）。只需打开位图中的像素即可。
如果您确实需要收集矩形中的点，则必须先将它们放入有序集（通过坐标）。多次迭代这个集合。每次，取出第一个点。然后寻找你已经拥有的那个左/右邻居的任何一点。如果有，请将它们连接到（水平）线。当你获得更多积分时，增加这条线。

当没有剩下的点时，对于生长矩形的线也一样。

Answer 3

我假设您愿意容忍重叠的矩形，因为如果这些点是

4 .###.
3 ..#..
2 .###.
1 ..#..
0 .###.
  01234

然后你可以覆盖四个重叠的矩形，但需要五个不重叠。

这个算法怎么样：

对于每个点，找到包含该点的最大矩形。最大的矩形是一个不能做得更大但仍然只是覆盖点的矩形。如果有两个最大的矩形，只需选择一个。将最大的矩形存储在某种删除重复项的数据结构中。在完成对所有点的迭代后，矩形集必须覆盖所有点。

我不知道这实际上是否是一组最小的矩形，但我怀疑它是。

请注意，在上面的示例中，您将获得三个矩形：一个垂直和两个水平。