一个未指定的线性方程组的约束随机解

Question

前提

我有一个线性方程组     点（A，x）= y 其解决方案具有许多自由度：实际上，线性独立方程（E）的数量小于x，A.K.A的维数。变量数（N）。

左边的自由度数将解决方案限制为整个空间R ^ N的超平面N-E。鉴于A的（不重要）特征，我总是能够将解x（向量N x 1）写为

x=dot(B,t)+q

其中B是N x（N-E）矩阵，t a（N-E）x 1向量和q a N x 1向量。这定义了我原问题的解的超平面，A x = y，参数形式。

我需要提取一个随机解，在超平面的任何可能点上均匀概率，使得所有x都是正的（我们将其称为正解 EM>）。注意，对于我正在处理的特定问题，x的正解的空间存在并且它是有界的（这就是统一概率的概念对于特定情况是如何合理的，如@Petr注释所暗示的那样澄清）。一开始，一旦我能够写x = Bt + q，我认为它非常简单。现在我开始怀疑它。

提议的解决方案

到现在为止我做了类似的事情：

1. 对于范围（N-E）中的每个维度i，我计算t [i]的最大值和最小值：t_min [i]和t_max [i]。间隔足够大，不排除任何可能的积极解决方案。这些是代数计算的，始终存在并定义有限的空间。
2. 我提取N-E个均匀随机值t [i]，每个值包含在t_min [i]和t_max [i]之间。
3. 我计算x =点（B，t）+ q
4. 如果所有x [j]都是正数，请接受解决方案。如果某些x [j]为负数，请返回第2点。

下图中的二维空间N-E可见一个例子。



标题：N维中的问题减少到N-E = 2空间。黄色钻石是N维问题的正解的空间。我在（t1（min），t2（min））和（t1（max），t2（max））之间的橙色框中随机采样点，直到我在黄色框中找到一个点。

我认为这是一个很好的解决方案，但是......

问题

当N-E较大时，超立方体内部的超平行四边形的空间可以很小。通常它会很小^（N-E），可能非常小。多么小？ 虽然存在对原始问题的无限多个正解，但是解的空间在N-E维空间中可以测量为零。如果原始问题的所有正解都具有x = 0的一维，则会发生这种情况。钻石的边界将接触，将解决方案的钻石转换为线。当然，你永远不会在2D中随机选择一条线，更不用说5D了。

一个明显的想法是进一步将维数从N-E减少到较小的数，即直接从上述线而不是正方形中提取点。代数并不容易，但我正在研究它。我不肯定我能够解决它。

请注意，选择第一个维度（例如t1），计算t2的新限制条件为提取的t1值，然后在此边界中提取t2的可能值，同时更快，不会给出一个统一的概率在所有可能的解决方案中。

我知道问题非常具体，但即使是一些一般性的想法或想法也会很乐意收到。我怀疑是否有一些计算技术直接提取钻石中的解决方案......