Question

我有一个形式为 y = Ax + b 的方程组，其中 y ， x 和 b 是n×1个向量， A 是×n（对称）矩阵。

所以这就是皱纹。并非所有 x 都是未知。指定了 x 的某些行，并且 y 的相应行未知。以下是一个例子

| 10  |   |  5  -2  1 | | * |   | -1 |
|  *  | = | -2   2  0 | | 1 | + |  1 |
|  1  |   |  1   0  1 | | * |   |  2 |

其中*表示未知数量。

我已经为Fortran中的上述问题构建了一个求解器，但是我想知道是否是一个体面的强大求解器，作为Lapack或MLK 的一部分用于解决这些类型的问题？

我的求解器基于一个名为pivot = [1,3,2]的排序矩阵，根据已知和未知的方法重新排列 x 和 y 向量

| 10  |   |  5  1 -2 | | * |   | -1 |
|  1  |   |  1  1  0 | | * | + |  2 |
|  *  |   | -2  0  2 | | 1 |   |  1 |

使用块矩阵解决方案＆amp; LU分解

! solves a n×n system of equations where k values are known from the 'x' vector
function solve_linear_system(A,b,x_known,y_known,pivot,n,k) result(x)
use lu
integer(c_int),intent(in) :: n, k, pivot(n)
real(c_double),intent(in) :: A(n,n), b(n), x_known(k), y_known(n-k)
real(c_double) :: x(n), y(n), r(n-k), A1(n-k,n-k), A3(n-k,k), b1(n-k)
integer(c_int) :: i, j, u, code, d, indx(n-k)

    u = n-k
    !store known `x` and `y` values
    x(pivot(u+1:n)) = x_known
    y(pivot(1:u)) = y_known

    !define block matrices
    ! |y_known| = | A1  A3 | |    *    | + |b1|
    | |   *   | = | A3` A2 | | x_known |   |b2|

    A1 = A(pivot(1:u), pivot(1:u))
    A3 = A(pivot(1:u), pivot(u+1:n))
    b1 = b(pivot(1:u))

    !define new rhs vector
    r = y_known -matmul(A3, x_known)-b1

    % solve `A1*x=r` with LU decomposition from NR book for 'x'
    call ludcmp(A1,u,indx,d,code)
    call lubksb(A1,u,indx,r)

    % store unknown 'x' values (stored into 'r' by 'lubksb')
    x(pivot(1:u)) = r

end function

对于上面的示例，解决方案是

    | 10.0 |        |  3.5 | 
y = | -4.0 |    x = |  1.0 |
    |  1.0 |        | -4.5 |

PS。线性系统通常具有n<=20方程式。

Answer 1

只有未知数的问题是线性最小二乘问题。

可以使用等式约束（修复某些变量）引入您的先验知识，将其转换为线性等式约束最小二乘问题。

在lapack中确实存在一个解决后者的算法，称为 xGGLSE 。

Here is some overview

（看起来，你需要在你的情况下将b乘以-1以与定义兼容）

编辑：在进一步检查时，我错过了y中的未知数。哎哟。这很糟糕。

Answer 2

首先，我会将您的系统重写为AX = b形式，其中A和b是已知的。在你的例子中，如果我没有犯任何错误，它会给出：

    5 0 1     x1         13
A = 2 1 0 X = x2 and b =  3
    1 0 1     x3         -1

然后您可以使用来自各种库的大量方法，例如LAPACK或BLAS，具体取决于矩阵A的属性（正定，...）。作为一个起点，我建议一个简单的方法，直接反转矩阵A，特别是如果你的矩阵很小。还有许多迭代方法（Jacobi，Gradients，Gauss seidel ......），您可以将它们用于更大的案例。

修改：分两步解决问题的想法

第一步：您可以在2个子系统中重写您的系统，其中X和Y为unknows但维度等于每个向量中的未知数。 X中的第一个子系统将是AX = b，可以通过直接或迭代方法求解。

第二步：一旦你知道X，Y中的第二个系统可以直接解析，因为Y将以Y = A＆＃39; X + b＆＃39;的形式表示。

我认为这种方法更为通用。

求解约束线性方程组

2 个答案: