三维重建：从未校准图像中求解三维点的方程

Question

这是一个非常简单的问题（我希望）。以下来自3D reconstruction from Multiple Images，Moons等人（图2-13，第348页）：

  

两张未校准图像的投影三维重建

     

给定 ：m1中的一组点对应I1和m2中两个未校准的点I2静态场景的图像I1和I2。

     

目标 ：场景的投影3D重建^M。

     

算法 ：

     

  
1. 计算基本矩阵的估算值^F
  
2. 从e2
计算epipole ^F   
3. 计算3x3矩阵
     ^A = −(1/||e2||2) [e2]x ^F
  
4. 对于每对相应的图像点m1和m2，求解^M的以下线性方程组：
     ^p1 m1 = ^M和^p2 m2 = ^A ^M + e2
     （^p1和^p2是非零标量）
        

[我为格式化道歉。我不知道如何将帽子放在角色上。]

直到第4步我还好。但是自从我上一次线性代数课以来已经30多年了，即便如此，我也不确定我是否知道如何解决类似问题这个。任何帮助或参考将不胜感激。

顺便说一下，这是我的另一篇文章的后续内容：

Detecting/correcting Photo Warping via Point Correspondences

这只是尝试解决问题的另一种方法。

Answer 1

给定一对匹配的图像点m ₁ 和m ₂ ，由于测量中的噪声，来自光学中心的两条相应的光线不太可能完全相交。因此，应该在（线性）最小二乘意义上找到所提供系统的解决方案，即查找x = argmin_x | C x - d |^2（例如）：

      /           0 \ /    \
      |  I  -m1   0 | |  M |
C x = |           0 | |    |
      |       0     | | p1 |
      |  A    0 -m2 | \ p2 /
      \       0     /

和

    /  0  \
    |  0  |
d = |  0  |
    |     |
    | -e2 |
    \     /

这个问题对于6个方程有5个未知数。

可能的替代公式利用了m ₁ 和m ₂ 与M共线的事实，因此m1 x M = 0和m2 x (A M + e2) = 0产生线性最小正方形问题x = argmin_x | C x - d |^2：

    / [m1]x   \ /   \
C = |         | | M |
    \ [m2]x A / \   /

和

    /     0    \
d = |          |
    \ -m2 x e2 /

其中[v]x是带有v的叉积的3 x 3矩阵。该问题对于6个方程有3个未知数，只有保持非线性相关的方程才能减少到4个。